El próximo 28 de septiembre a las 19:00 tendrá lugar “Por el giro de una aguja”, dentro del ciclo de conferencias divulgativas ‘Matemáticas en la Residencia’. El ponente será Antonio Córdoba, catedrático emérito de Análisis Matemático en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM), miembro asociado del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), Premio Nacional Julio Rey Pastor de Matemáticas y Ciencias de la Comunicación en 2011 y Medalla de la Real Sociedad Matemática Española en 2021. Hablará del problema de Kakeya, una cuestión central del análisis matemático moderno propuesta a comienzos del siglo XX que ha interesado a medallistas Fields como Jean Bourgain y Terence Tao y sobre la que propio Córdoba ha realizado importantes contribuciones.
¿Qué propiedades tendrá un conjunto plano de área muy pequeña, dentro del cual es posible mover un segmento orientado, hasta invertir su posición? Esta pregunta, conocida como el problema de Kakeya, es el tema escogido por Antonio Córdoba, catedrático emérito de Análisis Matemático en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y miembro asociado del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), para la próxima cita del ciclo de conferencias divulgativas ‘Matemáticas en la Residencia’.
El evento, titulado “Por el giro de una aguja”, se celebrará el próximo 28 de septiembre a las 19:00 en la Residencia de Estudiantes del CSIC (calle Pinar 21, Madrid) de forma presencial con aforo reducido –la inscripción ya puede realizarse en el siguiente enlace– y se emitirá simultáneamente de forma online, en el portal de La Edad de Plata. Presentará al ponente José María Martell, director del ICMAT. Córdoba, Premio Nacional Julio Rey Pastor de Matemáticas y Ciencias de la Comunicación en 2011 y Medalla de la Real Sociedad Matemática Española en 2021, hará un repaso, para público general, de la historia del problema de Kakeya, una cuestión de gran importancia en la investigación actual.
A esta pregunta, lanzada en 1917 por el matemático Soichi Kakeya, Córdoba llegó al comienzo de su carrera investigadora. “Fue mi primer trabajo serio de investigación, la conocí a través de Charles Fefferman, mi director de tesis, quien la había utilizado en 1970 para refutar una conjetura muy consolidada en el análisis armónico acerca de las sumas esféricas de series e integrales de Fourier”, explica el matemático.
El interés del problema se refuerza por sus conexiones con los llamados “teoremas de restricción de la transformada de Fourier” y con los operadores de “sumación esférica”, entre otras implicaciones en la investigación. “Es una pregunta crucial para desarrollar la teoría del análisis armónico en dimensión mayor que uno; también para entender la interacción de las transformadas de Hilbert en distintas direcciones del espacio; para obtener una teoría de operadores más allá del caso elíptico; está relacionada con lemas de cubrimiento de paralelepípedos en el espacio…”, explica Córdoba.
La ubicuidad de esta cuestión cautivó al matemático, cuyos primeros avances sobre el tema dieron forma a su tesis doctoral, “The Kakeya Maximal Function and the Spherical Summation Multipliers”, defendida en la Universidad de Chicago en 1974. Durante la década de los 70 del pasado siglo, Córdoba consiguió establecer una teoría bastante completa en dimensión dos y un plan para dimensiones mayores, donde el problema se ha convertido en un enorme desafío. “Hasta ahora, no ha podido llevarse a cabo, pero espero que podamos culminarlo algún día”, afirma el científico.
Años más tarde, matemáticos de gran impacto, como los medallistas Fields Jean Bourgain y Terence Tao, se interesaron también en el tema. “Bourgain y Tao han desarrollado la teoría en dimensión mayor o igual a tres, con éxito muy parcial hasta la fecha”, señala Córdoba. El también medallista Fields Fefferman empleó el conjunto descrito por Kakeya en su afamado trabajo sobre el llamado multiplicador del disco. “Aquello trajo el problema a la posición central que ahora ocupa en el análisis armónico”, asegura el matemático.
Avances en el problema
Una de las figuras centrales en este campo fue Abram Besicovitch, un matemático ruso que emigró a la Universidad de Cambridge, donde desarrolló una exitosa carrera creando la teoría geométrica de la medida. “En 1920 Besicovitch publicó un artículo con la construcción de un conjunto de medida nula que contenía un segmento en cada dirección del plano. Su motivación era demostrar la inviabilidad del teorema de Fubini en la integral de Riemann”, explica Córdoba. Aquel resultado quedó en el olvido hasta que en 1928 se publicó en el American Mathematical Monthly, obteniendo un gran impacto que llega hasta la actualidad. De hecho, una versión de la construcción de Besicovitch, mejorada por Oscar Perron, es la que ahora se emplea al tratar este tema.
A finales del siglo XX, el estadounidense Thomas Wolf formuló una versión “discreta” del problema, que ha sido resuelta en cualquier dimensión. “Mi impresión es que esa versión discreta no ofrece mucha luz sobre el problema original”, señala Córdoba. El problema, de momento, sigue suponiendo un enorme reto para la comunidad científica. Y en el camino a la solución, sea el que sea, aflorarán nuevas ideas que seguirán haciendo avanzar el análisis moderno.
Sobre el ponente
Antonio Córdoba (Puente Tocinos, Murcia, 1949) es profesor emérito en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). Entre los años 2016 y 2019 fue director del ICMAT, del que es miembro desde su creación, ahora como investigador asociado. Es licenciado por la Universidad Complutense de Madrid (1971) y doctor por la Universidad de Chicago (1974), bajo la dirección del medallista Fields Charles Fefferman. Córdoba ha sido profesor en las universidades de Princeton, Chicago y Minnesota y miembro del Institute for Advanced Study de Princeton, en Estados Unidos.
En 2011 recibió el Premio Nacional Julio Rey Pastor de Matemáticas y Ciencias de la Comunicación por “sus originales, profundas y fundamentales contribuciones en diferentes campos de las matemáticas, en particular, en el análisis de Fourier y en las ecuaciones en derivadas parciales y sus aplicaciones en mecánica de fluidos”. Desde 2016, además, es Académico de Honor de la Academia de Ciencias de la Región de Murcia, Doctor Honoris Causa por la Universidad de Murcia y Premio de la Real Academia de Ciencias de Madrid. En 2021, ha recibido la Medalla de la Real Sociedad Matemática Española. Es autor de más de 100 artículos de investigación, a lo que suma varios libros, ensayos, artículos de divulgación y la dirección de 13 tesis doctorales.
Matemáticas en la Residencia
Matemáticas en la Residencia es un ciclo de conferencias de divulgadores de matemáticas del más alto nivel internacional organizado por el ICMAT en colaboración con el área de Cultura Científica del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) y la Residencia de Estudiantes.
Desde la creación del programa, en 2009, ha contado con importantes divulgadores de la matemática como Marcus du Sautoy, J.M. Sanz-Serna, Pierre Cartier, Guillermo Martínez, Edward Frenkel, Christiane Rousseau, Antonio Durán, John Allen Paulos, Martin Grötschel, Jin Akiyama, Francisco Martín o Sylvia Nasar.
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Matemáticas en la Residencia: “Por el giro de una aguja”
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