La forma del espacio en geometría compleja y las teorías gauge

Concluye el periodo temático en espacios de moduli y estructuras geométricas con el workshop Gauge Theory, Canonical Metrics and Geometric Structures

Del 19 al 23 de junio, el ICMAT acoge el workshop Gauge Theory, Canonical Metrics and Geometric Structures, centrado en el estudio de aspectos matemáticos de teorías gauge y en la teoría de métricas canónicas en variedades complejas y de dimensión 7. Estos temas son de gran interés para la comunidad desde la década de 1970 y los avances en el campo han sido merecedores de reconocimientos como la Medalla Fields. Durante esta semana, grandes expertos internacionales del campo acudirán al ICMAT a debatir los últimos resultados. Es la última actividad del periodo temático en espacios de moduli y estructuras geométricas, desarrollado entre los meses de abril y junio de 2023 y organizado en colaboración con el Laboratorio Hitchin-Ngô del ICMAT.

Más de 40 especialistas internacionales en topología, geometría diferencial, geometría algebraica y física teórica se reúnen esta semana en el ICMAT, del 19 al 23 de junio, para asistir al workshop Gauge Theory, Canonical Metrics and Geometric Structures. Está centrado en el estudio de aspectos matemáticos de las teorías gauge y en la teoría de métricas canónicas en variedades complejas y de dimensión 7 y rinde un homenaje particular a la figura del profesor Eugenio Calabi, que cumple 100 años en 2023, y en cuyo honor se están haciendo diversas actividades a nivel internacional.

El workshop cuenta con dos minicursos impartidos por Christian Saemann (Heriot-Watt), experto mundial en teorías gauge superior –o estructuras superiores-, y Cristiano Spotti (Aarhus), una figura relevante en el área de geometría Kähler, con importantes contribuciones al estudio de métricas singulares.

Además, habrá once charlas de investigación. Entre los conferenciantes están Andrei Teleman (Universidad de Marsella) y Lorenzo Foscolo (University College London). Teleman ha desarrollado un programa importante para atacar la llamada conjetura de la célula global usando teorías gauge en variedades no Kähler, mientras que Foscolo es una de las jóvenes promesas del estudio de teorías gauge en dimensión 7.

“Un aspecto muy novedoso del workshop es el acercamiento de las comunidades de teoría gauge en dimensión superior (7 y 8, y no Kähler), representado por investigadores como Roger Bielawski (Universidad de Hannover), Foscolo, Teleman o Xenia de la Ossa (Universidad de Oxford); con expertos en estructuras superiores, como Christian Saemann (Universidad de Heriot-Watt) o Pedram Hekmati (Auckland), todos asistentes  al encuentro”, comenta Mario García Fernández, investigador Ramón y Cajal en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM), miembro del ICMAT y coorganizador del evento. “Esta relación tan solo ha sido explorada de manera residual en el pasado, y parece una importante fuente de herramientas para atacar problemas de geometrías con torsión”, continúa.

“Asistirán más de 40 personas, procedentes de universidades y centros de investigación de todo el mundo (Alemania, Canadá, Corea del Sur, Dinamarca, España, EE.UU., Francia, India, Italia, Luxemburgo, Noruega, Nueva Zelanda y Reino Unido), de los cuales, aproximadamente, quince son estudiantes de doctorado, seis son investigadores postdoctorales y, el resto, investigadores o profesores de universidad consolidados”, comenta Luis Álvarez Cónsul, investigador del ICMAT y coorganizador del workshop. “Aunque la mayoría de los participantes del encuentro tienen un perfil matemático, con formación en topología, geometría diferencial y geometría algebraica, dado su carácter interdisciplinar, el workshop también ha atraído una cantidad significativa de físicos teóricos con intereses en geometría, procedentes del Instituto de Física Teórica y de universidades españolas y extranjeras”, afirma Álvarez-Cónsul.

Con esta actividad, concluye el programa temático en espacios de moduli y estructuras geométricas, que comenzó en abril con el workshop Hitchin System, Langlands Duality and Mirror Symmetry. En este contexto, también se celebró en mayo el congreso Higgs Bundles, Character Varieties and Higher Teichmüller Spaces, en colaboración con el Laboratorio Agol del ICMAT, y han tenido lugar varios seminarios de investigación.

El programa ha estado organizado por Luis Álvarez-Cónsul, Steven Bradlow (Universidad de Illinois, Urbana-Champaign), Mario García-Fernández, Oscar García-Prada (ICMAT-CSIC), Xenia de la Ossa, Tomás L. Gómez (ICMAT-CSIC) y Anna Wienhard (Universidad de Heidelberg), en colaboración con el Laboratorio Hitchin-Ngô del ICMAT.

A continuación, Mario García Fernández presenta algunos de los conceptos fundamentales de este campo.

Métricas canónicas

El estudio de las métricas canónicas fue impulsado en la década de 1950 por el matemático Eugenio Calabi, y está ligado al estudio de variedades complejas. Una variedad compleja es un espacio modelado localmente por un disco en el espacio complejo n-dimensional C^n. Al carecer de invariantes locales, es interesante dotar a dicho espacio de una métrica.

El Teorema de uniformización permite dotar de una métrica con curvatura constante a toda superficie de Riemann, lo que resulta ser una potente herramienta de clasificación, gracias al teorema de Killing-Hopf. No obstante, este mismo teorema demuestra también que no toda variedad compleja admite una métrica con curvatura –seccional– constante, por lo que los matemáticos empezaron a buscar análogos a este resultado en dimensión superior.

Posiblemente motivado por ello, Calabi propuso una importante conjetura: el sueño de Calabi, que afirma que toda variedad compleja –compacta– que admite una métrica de tipo Kähler, también admite, de hecho, una métrica Kähler canónica, una vez fijados ciertos invariantes topológicos –la llamada clase de Kähler–.

El adjetivo canónica se refiere a propiedades especiales en su curvatura, como, por ejemplo, la de satisfacer un análogo de las ecuaciones de campo de Einstein ­–métricas tipo Kähler-Einstein–, tener curvatura escalar constante o ser extremales para el funcional energía de Calabi.

A finales de la década de los años 70 y principios de los 80 del siglo pasado, se alcanzaron importantes resultados para el caso Kähler-Einstein, gracias principalmente a los trabajos de Thierry Aubin y Shing-Tung Yau. En particular, la solución de Yau a la Conjetura de Calabi en 1978 ha tenido un gran impacto tanto en la geometría diferencial como en el análisis geométrico, y fue una parte importante de los trabajos que le valieron a Yau la Medalla Fields en 1982. Sorprendentemente, el Teorema de Yau transcendió más allá de las matemáticas, y es de una gran influencia en el área de la teoría de cuerdas. Esto se debe al trabajo seminal de Philip Candelas, Gary T. Horowitz, Andrew Strominger y Edward Witten, que mostraron cómo construir ciertos modelos en teoría de cuerdas, a partir de una solución al problema de Calabi en un tipo de espacio hoy conocido como Calabi-Yau.

El caso abierto del problema de Kähler-Einstein, correspondiente a variedades algebraicas de tipo Fano, resultó ser extremadamente difícil. Al contrario que en los casos resueltos por Yau ­–para la clase de Chern cero– y Aubin-Yau –para la clase de Chern negativa–, en el caso Fano existen obstrucciones a la existencia de métricas Kähler-Einstein, que dependen sutilmente de la estructura compleja. Este descubrimiento tuvo su origen en la interacción con una floreciente área de las matemáticas en los años ochenta: las teorías gauge.

Teorías gauge

Mientras que en física se denomina teorías gauge a una clase de teorías cuánticas de campos –como el modelo estándar, por ejemplo–, en matemáticas se ha adoptado ese nombre para describir las teorías sobre conexiones canónicas. Así, en matemáticas, el término teoría gauge se refiere al estudio de conexiones en fibrados principales, una generalización de la noción de transporte paralelo en una superficie curva.

El principal objetivo de dicha teoría es entender el problema de existencia de conexiones canónicas, determinadas, como en el caso de métricas, por condiciones especiales en su curvatura, y describir su espacio de moduli, esto es, el espacio que las parametriza –salvo equivalencia gauge–.

Motivados por el estudio de un problema de clasificación en geometría algebraica –el conocido como moduli de fibrados holomorfos sobre una curva–, Michael Atiyah y Raoul Bott estudiaron, en un artículo seminal publicado en 1983, aplicaciones puramente matemáticas del marco teórico de la teoría de Yang-Mills –planteada inicialmente en el contexto de la física teórica–, un caso particular de teoría gauge física.

En estudios posteriores en la década de los años 80 del siglo pasado, Karen Uhlenbeck y Shing-Tung Yau y, de manera independiente, Simon Donaldson, demostraron un importante teorema que caracteriza la existencia de conexiones canónicas –llamadas Hermitian-Yang-Mills– en un fibrado sobre una variedad compleja. Aplicado al caso de métricas Kähler-Einstein en una variedad, con conexión dada por el transporte paralelo de Levi-Civita, esto llevó a las primeras obstrucciones conocidas al caso Fano del problema de Kähler-Einstein.

Interacciones entre teorías gauge y métricas canónicas

A lo largo de los últimos 40 años, el área de las métricas canónicas en geometría compleja y la floreciente área de teorías gauge, han tenido una constante y fructífera interacción. En el primer caso, los principales resultados hasta la fecha son la solución al problema de Kähler-Einstein en 2012, por Simon K. Donaldson, Xiuxiong Chen y Song Sun, y la solución al problema de curvatura escalar constante en el caso analítico en 2018, por Xiuxiong Chen y Jingrui Cheng.

En el segundo caso, destacan las sorprendentes aplicaciones de teorías gauge a problemas de clasificación en topología diferencial, iniciados con los invariantes polinomiales de Donaldson en cuatro variedades en los años ochenta, y a la geometría algebraica, a través de la moderna teoría de invariantes de Donaldson-Thomas.

Preguntas abiertas en este campo

Pese a los muchos avances, aún quedan importantes preguntas por resolver sobre estas cuestiones. En el ámbito de las métricas canónicas, una pregunta fundamental trata de la existencia de métricas con curvatura escalar constante en variedades algebraicas, y su relación con la teoría de invariantes de Mumford. Además, las técnicas empleadas en la solución al problema de Kähler-Einstein han despertado un creciente interés en el estudio de métricas Kähler canónicas en espacios singulares. Dichas métricas aparecen de manera natural como soluciones autosimilares –o solitones– al flujo de Kähler-Ricci y tienen potenciales aplicaciones al Programa Mori en geometría algebraica.

Por otra parte, una buena parte de la actividad científica está sucediendo alrededor de un nuevo programa, que extiende de manera natural el sueño de Calabi: el estudio de métricas canónicas en variedades complejas no-Kähler –pluriclosed, Hull-Strominger, etc.–

Este es un problema de gran dificultad, debido a que se estudian métricas que no admiten un potencial escalar local. Las principales motivaciones de este nuevo estudio son, de nuevo, problemas abiertos de clasificación en geometría compleja, como son la conjetura de la célula global, cuya solución completaría la clasificación de superficies complejas compactas, y el problema de moduli de variedades Calabi-Yau de dimensión tres, también conocido como fantasía de Reid.

La reciente investigación en esta área ha hecho resurgir la interacción con la comunidad de teoría de cuerdas, en el contexto de compactificaciones con flujo.

También cabe destacar la colaboración entre expertos de geometría compleja Kähler y no Kähler, que también tiene lugar en el workshop organizado en el ICMAT esta semana, como muestra la presencia de investigadores como Cristiano Spotti (Universidad de Aarhus), Jacopo Stoppa (Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati), Andrei Teleman (Universidad de Marsella) y algunos de los organizadores del evento.

La reciente aplicación de técnicas de geometría Kähler al contexto no-Kähler es una prometedora línea de avance en la extensión del problema de Calabi antes mencionada. Por ejemplo, se puede mencionar el uso reciente de métricas Calabi-Yau singulares para la construcción de métricas no-Kähler canónicas, por Jixiang Fu, Jun Li y Yau, Tristan Collins, Sebastien Picard y Yau y Federico Giusti y Spotti, o la introducción de nuevas técnicas en teoría gauge superior para avanzar en la comprensión del espacio de moduli, que estamos estudiando en el ICMAT.

Por otro lado, en teoría gauge, una gran parte de la investigación se está desarrollado en torno al programa iniciado por Donaldson y Thomas, que propone extender las teorías de invariantes topológicos, como los invariantes de Donaldson o la teoría de Seiberg-Witten, a variedades de dimensión superior. En particular, en años recientes se han desarrollado diversas técnicas para el estudio de los invariantes de Donaldson-Thomas en geometría algebraica, con figuras destacadas como Bridgeland, Thomas y Joyce. Otro tema importante de investigación es el estudio de conexiones de tipo instantón en variedades de dimensión 7 dotadas con una métrica canónica –con holonomía dada por el grupo excepcional G_2, según la clasificación de Berger–.

Esta área ha recibido recientemente un gran impulso, en parte debido a la actividad en torno al programa Colaboración en Holonomía Especial liderado por el profesor Donaldson, entre otros, y financiado por la Simons Foundation.