El problema del gap espectral tiene implicaciones en muchas otras cuestiones abiertas importantes, como la conjetura de Yang Mills, uno de los Problemas del Milenio cuya resolución está premiada con un millón de dólares por el Instituto Clay de Matemáticas.
El gap espectral es una propiedad física de un sistema cuántico que señala la diferencia de energía entre el estado base y el primer estado excitado del sistema cuántico. “El gap representa la energía que necesita el sistema (suponiendo que está a temperatura 0) para que sus propiedades cambien”, señala David Pérez-García. Se relaciona con la estabilidad del sistema, ya que si el gap es mayor, se necesita más energía para que las propiedades del sistema cambien. Cuando no hay gap, indica que el sistema está en una transición de fase, porque sin aplicar energía, las propiedades pueden cambiar.
Para estudiar el gap se parte del operador hamiltoniano del sistema, que viene definido por las interacciones locales y que rige su evolución. “El hamiltoniano es crucial para definir las fases (líquido, gas, sólido…)”, explica Pérez-García. El gap es uno de los valores del espectro del operador Hamiltoniano.
Ahora, gracias al trabajo de Pérez García junto a Toby S. Cubitt, y Michael M. Wolf, se sabe que determinar el gap no es una cuestión complicada, sino que es imposible de determinar de forma general. Esto significa, por un lado, que no hay ningún algoritmo capaz de resolver este problema para cualquier sistema. Además, existen modelos para los cuales la presencia o ausencia de gap espectral no está definida por los axiomas de las matemáticas. Para demostrar esta irresolubilidad han empleado ideas fundamentales de la lógica matemáticas, herederas del trabajo de Alan Turing y Gödel.
Referencia
Toby S. Cubitt, David Perez-Garcia, Michael M. Wolf, ‘Undecidability of the Spectral Gap’, will be published in Nature on 10 December 2015 and is under embargo 1800 London time / 1300 US Eastern Time on 10 December 2015.