El próximo martes 30 de noviembre, a las 13:00, tendrá lugar la próxima cita del Coloquio Conjunto de Matemáticas organizado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT, la Universidad Autónoma de Madrid (UAM), la Universidad Carlos III de Madrid (UC3M) y la Universidad Complutense de Madrid (UCM). Eva Miranda, catedrática de la Universidad Politécnica de Cataluña, impartirá la charla “From Euler equations to Turing machines via contact geometry”, en la que presentará sus recientes avances sobre dinámica de fluidos, empleando máquinas de Turing. El encuentro tendrá lugar en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UCM y también podrá seguirse por YouTube.
El movimiento de un fluido incompresible está definido por las ecuaciones de Euler o, si se considera la viscosidad del mismo, por las ecuaciones de Navier-Stokes. El análisis de estas ecuaciones y, en concreto, el estudio de su regularidad, es uno de los temas principales de la investigación matemática actual. Un nuevo enfoque para abordar esta cuestión –propuesto por el medallista Fields Terence Tao– emplea máquinas de Turing. Recientemente, Robert Cardona (UPC), Eva Miranda (UPC), Daniel Peralta-Salas (ICMAT-CSIC) y Francisco Presas (ICMAT–CSIC) han obtenido un importante avance en esta dirección, consiguiendo un flujo de Euler en tres dimensiones que es Turing completo (es decir, que puede simular cualquier máquina de Turing).
Sobre ello hablará Miranda en el próximo Coloquio Conjunto de Matemáticas ICMAT-UAM-UC3M-UCM, que tendrá lugar el martes 30 de noviembre a las 13:00 horas en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UCM, y que también podrá seguirse por YouTube.
Su solución a las ecuaciones de Euler se corresponde con una solución estacionaria o campo de Beltrami. En su demostración ha sido clave la correspondencia entre los campos de Beltrami y los campos vectoriales de Reeb de topología de contacto, con lo que aplica técnicas de geometría para resolver un problema de dinámica de fluidos.
Sobre la ponente
Eva Miranda es catedrática en la Universidad Politécnica de Cataluña (UPC), donde dirige el Laboratorio de Geometría y Sistemas Dinámicos y el grupo GEOMVAP de Geometría de Variedades y Aplicaciones en la UPC. Es también miembro del Centre de Recerca Matemàtica (CRM) y miembro asociado al ICMAT. Galardonada en 2016 con un premio ICREA Academia, en 2017 fue distinguida con una Chaire d’Excellence de la Fundación de Ciencias Matemáticas de París.
Su investigación se centra en la geometría diferencial, la física matemática y los sistemas dinámicos y, más concretamente, en la geometría simpléctica y la dinámica hamiltoniana. Hace una década inició, junto a Victor Guillemin (Instituto de Tecnología de Massachusetts), la investigación de las diversas facetas de las variedades de b-Poisson. Estas estructuras aparecen naturalmente en problemas físicos en variedades con borde y en cuestiones de mecánica celeste como el problema de tres cuerpos (y en sus versiones restringidas). En la actualidad, trabaja en problemas de topología simpléctica y en sus aplicaciones a hidrodinámica.
Miranda ha dirigido nueve tesis doctorales. Asimismo, ha formado parte de numerosos comités científicos internacionales, del consejo de Gobierno de la BGSMath y del consejo de Administración del Instituto Henri Poincaré en París.
Coloquio Conjunto de Matemáticas ICMAT-UAM-UC3M-UCM: “From Euler equations to Turing machines via contact geometry”
Resumen: In the book “The Emperor’s new mind” Penrose returns to the artificial intelligence debate to convince us that creativity cannot be presented as the output of a “mind” representable as a Turing machine. This idea, which is platonic in nature evolves into more tangible questions such as: What kind of physics might be non-computational?Or, more concretely: Is hydrodynamics capable of performing computations? (Moore 1991). Given the Hamiltonian of a quantum many-body system, is there an algorithm to check whether it has a spectral gap? (the “spectral gap problem” recently proved to be undecidable by Cubitt, Perez-Garcia, and Wolf). And last but not least, can a mechanical system (including a fluid flow) simulate a universal Turing machine? (Tao).
The movement of an incompressible fluid without viscosity is governed by Euler equations. Its viscid analogue is given by the Navier-Stokes equations whose regularity is one of the open problems in the list of problems for the Millenium by the Clay Foundation. The trajectories of a fluid are complex. Can we measure its levels of complexity (computational, logical and dynamical)?
In this talk, we will address these questions. In particular, we will show how to construct a 3-dimensional Euler flow which is Turing complete. Undecidability of fluid paths is then a consequence of the classical undecidability of the halting problem proved by Alan Turing back in 1936. Our solution of Euler equations corresponds to a stationary solution or Beltrami field. To address this problem, we will use a mirror reflecting Beltrami fields as Reeb vector fields of a contact geometry. Thus, our solutions import techniques from geometry to solve a problem in fluid dynamics. But how general are Euler flows? Can we represent any dynamics as an Euler flow? We will address this universality problem using the Beltrami/Reeb mirror again. These universality features are just another manifestation of their complexity.
Our work is motivated by Tao’s approach to the problem of Navier Stokes which we will also explain.
The contents of this talk are joint work with Cardona, Peralta-Salas and Presas.
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