Portada del monográfico / Imagen: World Scientific
Escrito por Manuel de León (ICMAT-CSIC), Marcelo Epstein (Universidad de Calgary, Canadá) y Víctor Jiménez (Universidad de Alcalá), Material Geometry. Groupoids in continuum mechanics será publicado en el mes de mayo de este año.
La noción de grupoide material –una forma global de conectar las simetrías materiales en cada punto– es el arranque de la monografía que publicará en el mes de mayo de 2021 la editorial World Scientific. Material Geometry. Grupoids in continuum mechanics está firmado por Manuel de León, investigador del ICMAT-CSIC, Marcelo Epstein, de la Universidad de Calgary (Canadá) y Víctor Jiménez, de la Universidad de Alcalá.
Al grupoide material se llega, por un lado, tratando de generalizar la idea de grupo, que, en matemáticas, surge de manera natural al abstraer las propiedades de las simetrías de una figura geométrica o de las raíces de una ecuación polinómica. También las simetrías que dejan invariante la dinámica en un sistema físico dan lugar a cantidades conservadas, que permiten la integración de la dinámica, como demostró Emmy Noether en su conocido teorema. Las simetrías, por lo tanto, forman un grupo que, al añadirle una estructura diferenciable, pasa a ser un grupo de Lie. El grupoide es una generalización del concepto de grupo en el que no siempre se pueden multiplicar dos elementos.
Por otro lado, el concepto de grupoide también aparece en la mecánica de medios continuos –que tienen un conjunto infinito de partículas–. En esta área se estudia un modelo unificado para la mecánica de sólidos deformables, sólidos rígidos y fluidos sin tener en cuenta las posibles discontinuidades. Uno de los principales retos es determinar si un cuerpo está hecho de la misma materia en todos sus puntos, es decir, si es uniforme. Para ello, Walter Noll propuso en la década de 1960 una teoría alternativa al estudio de los continuos basada en la existencia de una ley constitutiva que dependía de las derivadas de las deformaciones de las que emanaban las propiedades materiales.
El comparar la composición del cuerpo en puntos diferentes se traduce en probar la existencia de isomorfismos materiales, invariantes por la ley constitutiva. Se podía establecer una operación entre estos, aunque para componerlos se necesitaba que uno acabara donde comenzaba el otro. Sin embargo, esta estructura ya existía en matemáticas, es conocida como grupoide y fue creada por Heinrich Brandt en 1927. Si incluimos la diferenciabilidad, tendremos un grupoide de Lie, una extensión natural de los grupos de Lie. Las propiedades de un cuerpo material, por lo tanto, se reflejan algebraicamente en el grupoide material.
Los autores de esta monografía se sirven del grupoide material para introducir nuevos conceptos de uniformidad (como la uniformidad graduada), así como el estudio de la homogeneidad o su falta, es decir, la caracterización de posibles defectos en el material de estudio, como las dislocaciones y disclinaciones en el sentido de Vito Volterra. Los resultados presentados en este texto han permitido desarrollar una teoría completa de fenómenos como el modelamiento de materiales, el envejecimiento o la morfogénesis.
World Scientific
La editorial World Scientific está especializada en la publicación de trabajos académicos sobre temas científicos, técnicos y médicos. Creada en 1981 en Singapur, lanza al año alrededor de 600 libros y 140 revistas centradas en diferentes áreas, cuya autoría procede de instituciones como las universidades de Harvard, Princeton o el Imperial College de Londres. Todo ello la ha convertido en una de las compañías editoriales líderes de su campo a nivel internacional.