Boris Khesin, especialista en geometría y topología hidrodinámica de la Universidad de Toronto, impartirá hoy miércoles, 16 de diciembre, un Coloquio ICMAT-UCM titulado “Integrable PDEs and Pentagram Maps”. En él abordará ciertos fenómenos que aparecen realizando construcciones a partir de polígonos de dimensiones arbitrarias. La charla tendrá lugar de manera online a través de la plataforma Zoom a las 17:30 horas.
Boris Khesin // Imagen: Universidad de Toronto
“Integrable PDEs and Pentagram Maps” es el título del próximo Coloquio ICMAT-UCM, que tendrá lugar hoy, 16 de diciembre, a las 17:30 a través de la plataforma Zoom. Será impartido por Boris Khesin, catedrático de Matemáticas de la Universidad de Toronto (Canadá) y presentará ciertas generalizaciones de un curioso fenómeno observado por el matemático Richard Schwartz en 1992.
La cuestión es la siguiente: dado un polígono convexo en el plano, se dibujan sus diagonales más cortas –las que unen cada vértice con los vértices a distancia 2 del mismo– y se consideran los puntos de corte de estas rectas como los vértices de un nuevo polígono. Podemos repetir este proceso y obtendremos un sistema dinámico, o evolución, ya que cada polígono está unido al resultante por sus diagonales. Schwartz observó que esta dinámica mostraba curiosas propiedades como que, tras varias iteraciones, cualquier polígono acababa llegando de nuevo a su forma original o, al menos, a una muy próxima.
Si partimos de un polígono en un espacio de otra dimensión, ¿se siguen observando estas propiedades? ¿Aparecen otras? En el Coloquio, Khesin presentará generalizaciones de estos resultados en dimensiones altas. Una de las principales cuestiones abiertas en el campo es delimitar la separación entre los casos integrables de las transformaciones pentagonales, que muestran un comportamiento regular, y los no integrables, cuyo comportamiento es caótico. Otro de los retos es encontrar discretizaciones geométricas relacionadas con las transformaciones pentagonales de diferentes ecuaciones de la física matemática.
Este tema está relacionado con diversas áreas de las matemáticas como los sistemas integrales discretos y de dimensión infinita, las ecuaciones de solitos, álgebras clúster, estructuras invariantes de Poisson, frisos, etc.
Boris Khesin
Boris Khesin es licenciado en Matemáticas por la Universidad Estatal de Moscú (Rusia). Tras doctorarse bajo la supervisión de Vladimir Arnold, trabajó en las universidades estadounidenses de California at Berkeley y Yale. Actualmente es catedrático de Matemáticas en la Universidad de Toronto. Sus principales líneas de investigación son la geometría y topología hidrodinámica, los grupos dimensionales-infinitos y los sistemas hamiltonianos e integrables. Khesin es autor, junto con Arnold, del libro Topological Methods in Hydrodynamics, que se ha convertido en una de las principales obras de referencia en el campo.
Colloquium ICMAT-UCM: “Integrable PDEs and Pentagram Maps”, Boris Khesin (University of Toronto)
16 de diciembre de 2020 – 17:30. Zoom (ID: 962 1759 4283; access code: 932294)
Abstract: The pentagram map was originally defined by R.Schwartz in 1992 as a map on plane convex polygons, where a new polygon is spanned by the “shortest” diagonals of the initial one. It turned out to be a beautiful discrete completely integrable system with many relations to other mathematical domains. We describe various extensions and the geometry of this map in higher dimensions. We also describe the corresponding continuous limits of such maps, which happen to coincide with equations of the KdV hierarchy, generalizing the Boussinesq equation in 2D. This is a joint work with Fedor Soloviev and Anton Izosimov.