Esta semana se celebra en el ICMAT el congreso “Symplectic Techniques in Hamiltonian Dynamics”, un congreso dedicado a la interacción de la topología simpléctica y de contacto moderna con los sistemas Hamiltonianos. Hasta el próximo viernes, expertos internacionales del campo se reunirán para compartir los últimos avances.
La geometría simpléctica apareció originalmente de la mano del formalismo Hamiltoniano, que supuso una reformulación de la mecánica clásica en el s. XIX. Es el lenguaje que se emplea para describir matemáticamente el comportamiento de la naturaleza, y permite descifrar los motivos de comportamientos complejos que parecen incomprensibles a primera vista.
En los años 1960 se inició el estudio abstracto de las llamadas variedades simplécticas y de contacto, sin relacionarlo explícitamente con los sistemas dinámicos hamiltonianos. Este tipo de variedades eran atractivas, ya que, desde el punto de vista de la topología diferencial, las simplécticas y de contacto abiertas son sencillas de clasificar (como probó Gromov en su tesis). Durante casi 20 años se pensó que la topología de esas variedades no influía de modo significativo en la dinámica de los sistemas Hamiltoninos definidos sobre ellas. Andreas Floer fue el primero en observar que las técnicas simplécticas eran un arma muy potente para estudiar la dinámica de los sistemas Hamiltonianos. La teoría de Floer ha sido, desde entonces, una de las ramas más activas de la geometría diferencial.
Este es el tema que reúne en el ICMAT a más de medio centenar de expertos en teoría Floer de todo el mundo desde el pasado lunes 13 de junio hasta el próximo viernes 17. Se impartirán 21 charlas, en las que se tratarán problemas de especial relevancia como la emergente dinámica Hamiltoniana C0 (transformaciones meramente continuas), problemas de empaquetado y su conexión con la dinámica, el estudio de la entropía topológica de los flujos Hamiltonianos, la fundamentación básica de la categoría de Fukaya, etc. Asistirán más de 60 investigadores y estudiantes. “Esperamos que la semana dé lugar a intercambios fructíferos y que ayude a popularizar la teoría Floer en España”, señala Francisco Presas, investigador del ICMAT y uno de los organizadores.
“La teoría Floer tiene una riqueza inmensa. Ha permitido encontrar estructuras geométricas en el espacio de transformaciones Hamiltonianas simplécticas (métrica de Hofer) y de contacto (ordenes parciales, métricas cuantizadas)”, asegura Presas. “También ha sido la clave para entender con profundidad la dinámica Hamiltoniana tanto de sistemas no autónomos (conjeturas de Arnold y Conley, ahora ya teoremas firmemente establecidos), como en el caso de sistemas autónomos (conjetura de Weinstein). Ha permitido restringir las propiedades ergódicas de los sistemas Hamiltonianos”, prosigue.
Técnicas simplécticas en dinámica hamiltoniana
Partiendo de un sistema mecánico hamiltoniano (definido por un espacio de fases, que codifica posición y momento), se obtiene una estructura geométrica al expresar las ecuaciones de Hamilton para el sistema. Esta estructura se denomina simpléctica. En este campo la pregunta principal, de marcado interés físico, es: ¿Cómo influye la topología del espacio subyacente sobre las posibles dinámicas de un sistema con esa geometría? ¿Son especiales los sistemas dinámicos Hamiltonianos? o, en otras palabras, ¿las ecuaciones mecánicas que rigen la naturaleza tienen comportamientos especiales comparados con otras ecuaciones?
Topología de contacto
La topología de contacto se suele denominar la “hermana de la topología simpléctica en dimensiones impares”. En un sistema hamiltoniano, la función hamiltoniana es una cantidad conservada, es decir, es constante a lo largo de las órbitas del sistema y, por tanto, es posible estudiar la dinámica restringida a un cierto nivel de la función. Cuando el nivel es convexo, la estructura geométrica natural en dicho nivel es la de una estructura de contacto.
Desde el punto de vista de la geometría algebraica y la variable compleja, es interesante comprender cómo se comportan las hipersuperficies reales dentro del espacio complejo n-dimensional o, más generalmente, una variedad. En particular, el espacio de funciones holomorfas (o algebraicas) sobre un cierto dominio depende fuertemente de cómo es su frontera. En muchos casos, la estructura natural en dichas hipersuperficies, dada por las tangencias complejas, es de contacto.
Técnicas simplécticas para el estudio de sistemas dinámicos
Durante casi 20 años se pensó que la topología de las variedades simplécticas y de contacto no influía de modo significativo en la dinámica de los sistemas Hamiltoninos definidos sobre ellas. Sin embargo, en 1985, Gromov publicó un artículo que redirigía toda la investigación posterior. Argumentó que, al igual que uno puede usar curvas complejas para estudiar las propiedades de variedades algebraicas de dimensión superior, uno puede introducir estructuras casi-complejas en las variedades simplécticas para así usar curvas “pseudoholomorfas” como palanca para el estudio de las variedades simplécticas. Inmediatamente Andreas Floer comprendió que la teoría proporcionaba un arma muy potente para estudiar la dinámica de los sistemas Hamiltonianos. La adaptación de la teoría de curvas pseudo-holomorfas para el estudio de dinámicas Hamiltonianas se ha convertido en la teoría Floer, que es una de las ramas más activas de la geometría diferencial. Una generación completa de matemáticos ha desarrollado su carrera a la sombra de esta teoría: McDuff, Eliashberg, Hofer, Polterovich, etc.