Annette Werner, catedrática de Matemáticas en la Universidad Goethe de Frankfurt (Alemania), es la próxima ponente del Coloquio Conjunto ICMAT-UAM-UC3M-UCM). Su charla, On the birational geometry of matroids, tendrá lugar el Viernes 10 de marzo a las 12:20 en el Aula Naranja del ICMAT y también podrá seguirse de forma online. En ella hablará de la teoría de matroides, un campo que ofrece un tratamiento abstracto unificado del concepto de dependencia en algebra lineal y teoría de grafos. En concreto, presentará el estudio de los automorfismos de Cremona, sobre el que ha realizado importantes contribuciones. Además, sus trabajos en geometría diofántica y geometría algebraica de cuerpos ordenados no arquimedianos son reconocidos internacionalmente. Licenciada y doctora en Matemáticas por la Universidad de Münster (Alemania), ha sido investigadora postdoctoral en el Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn y en la Universidad de Münster. Antes de incorporarse a la Universidad de Frankfurt en 2007, ha ocupado puestos permanentes en las universidades de Siegen y de Stuttgart.
Annete Werner, en Oberwolfach. Autora Petra Lein, MFO
Empecemos por el principio: ¿qué son las matroides?
Las matroides se pueden ver como una construcción matemática fundamental para formalizar el concepto de independencia. La independencia es un concepto básico en matemáticas, cualquier estudiante de primer curso de grado lo aprende en la clase de algebra lineal, habitualmente aplicado a vectores. Pero esta misma idea de independencia lineal también se puede observar en los grafos, donde aparecen las matroides de grafos. El concepto de matroide generaliza al mismo tiempo la independencia lineal y las matroides de grafos. Las matroides permiten hablar de muchos fenómenos combinatorios al mismo tiempo con un lenguaje unificado.
¿Qué tipo de cuestiones se estudian sobre las matroides?
Podríamos llenar un libro. Hay miles de preguntas abiertas, de hecho, aún no se conocen muchas cosas sobre las matroides. Nos interesa comprender ciertos fenómenos y encontrar clases de matroides con ciertas propiedades. Una nueva rama muy emocionante es la relación entre matroides y teoría de Hodge inspirada en la geometría. Esta es una linea de investigación por la cual June Huh obtuvo la Medalla Fields el año pasado, en 2022. Pero las preguntas van en direcciones muy diferentes. Dado que las matroides son muy generales, su teoría está conectada con muchas otras ramas de las matemáticas. En mi charla presentaré algunas de las preguntas que me han interesado a mi, en particular.
Hablará de los abanicos de Bergman de matroides, ¿de qué se trata?
Son objetos combinatorios. Para quien sepa un poco de geometría tropical, podemos decir que sirven para generalizar la tropicalización de matroides representables.
¿Cuáles diría que han sido los principales avances en este campo en los últimos años?
Los resultados geométricos sobre la teoría de Hodge para la geometría combinatoria obtenidos por June Huh y sus colaboradores, han recibido mucha atención dentro de la comunidad. Estos matemáticos lograron formular análogos de conceptos geométricos en situaciones donde la geometría no existe.
¿Cuáles son los principales desafíos en este momento?
Hay muchos. Como siempre en matemáticas, tan pronto como demuestras un teorema, surgen diez conjeturas nuevas. La gente todavía está comprendiendo y generalizando estos resultados teóricos. También hay muchas preguntas desde el punto de vista de la teoría de grafos.
¿Cómo comenzó su investigación en esta área?
A mi me interesaba la geometría tropical, que es una forma de asociar una construcción combinatoria a una variedad, es decir, al conjunto de ceros de polinomios en algún espacio. Yo venía, originalmente, del campo de la geometría algebraica, así que me fascinó encontrar una manera de estudiar estos objetos algebraicos, que suelen ser muy difíciles de estudiar, a partir de la combinatoria.
¿Qué contribuciones ha realizado a este campo?
En realidad, no tantas hasta ahora. Los resultados que obtuve junto con Kris Shaw (Universidad de Oslo), son los primeros que he publicado, que pertenecen a este campo de la teoría de matroides.
¿En qué otros campos ha trabajado?
Mi formación es en geometría aritmética, y la mayoría de mis artículos tratan sobre este tema. Mi último artículo trata de analogías p-ádicas de la correspondencia de Corlette-Simpson, un tema muy candente en la teoría p-ádica. Pero estoy muy interesada en todas las cuestiones combinatorias que surgen del estudio del mundo algebraico en el que vivo. Sí, estoy interesada en todo y la vida es demasiado corta.