El próximo Coloquio UAM-ICMAT será impartido por Pilar Bayer, catedrática de álgebra en la Universidad de Barcelona hasta su jubilación en 2016 e impulsora del Seminario de Teoría de Números de Barcelona, referente internacional en el área. Su charla, titulada “On some results and conjectures in the theory of automorphic forms”, versará sobre formas automorfas. Tendrá lugar el próximo viernes, 12 de abril de 2019, en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid a las 12:00 h. José Ignacio Burgos, investigador del ICMAT, presenta la actividad en el siguiente texto.
La matemática Pilar Bayer será la ponente del próximo Coloquio UAM-ICMAT, titulado “On some results and conjectures in the theory of automorphic forms”. Estará centrado en las formas automorfas, una generalización de las funciones periódicas que ha cambiado radicalmente la teoría de números moderna. De este concepto deriva una extensa red de resultados y conjeturas, entre ellos el famoso programa de Langlands. Esta colección de conjeturas relaciona representaciones del grupo de Galois de un cuerpo de números con representaciones de grupos algebraicos, precisamente mediante el uso de las formas automorfas. Un ejemplo de ello es el teorema de modularidad de Wiles, una de las conjeturas del programa de Langlands y pieza clave en la demostración del Teorema de Fermat.
Las formas automorfas se basan en la siguiente idea: dado un grupo G que actúa en un espacio X, una forma automorfa es una función f en X, con valores en un espacio vectorial real o complejo, que cumple ciertas propiedades. La primera es que la función f sea casi periódica respecto del grupo G. Esto significa que si p es un punto de X y g un elemento de G, entonces f(p) y f(gp) están relacionados por un “factor de automorfía”. Es decir, f(p) y f(gp) no son iguales (caso periódico), pero se pueden deducir el uno del otro. La segunda propiedad es que la función f tiene buenas propiedades analíticas. Por ejemplo, puede ser holomorfa o puede ser una función propia de un operador Laplaciano. La última condición es que el crecimiento de f al acercarse a la “frontera” de X esté controlado.
El ejemplo más sencillo de fomas automorfas son las formas modulares, donde el grupo G es un subgrupo del grupo de matrices cuadradas de dimensión 2 con coeficientes enteros y determinante uno y el espacio X es el semiplano de Poincaré (los números complejos con parte imaginaria positiva).
La cita “hay cinco operaciones fundamentales en matemáticas: suma, resta, multiplicación, división y formas modulares”, atribuida al alemán experto en teoría de números Martin Eichler, ha sido suscrita en numerosas ocasiones por otros matemáticos para señalar la relevancia de estas formas.
Pilar Bayer
Pilar Bayer es una de las primeras matemáticas que obtuvieron el doctorado en la Universidad de Barcelona, en el año 1975. Desde entonces, ha desarrollado su carrera como investigadora y profesora en instituciones como la Universidad de Ratisbona (Alemania), donde comenzó a formarse en teoría de números; la actual Universidad de Cantabria, la Universidad Autónoma de Barcelona (UAB), como catedrática de álgebra durante un año, y la Universidad de Barcelona (UB), donde ejerció también como catedrática en el Departamento de Álgebra y Geometría desde 1982 hasta su jubilación en 2016.
Bayer ha trabajado en temas relacionados con formas automorfas desde el inicio de su carrera. Entre sus numerosas publicaciones destaca el artículo “On automorphic forms and Hodge theory”, elaborado junto a Jürgen Neukirch y publicado en 1981 en la revista Mathematische Annalen. Asimismo, ha investigado en áreas como funciones zeta, el problema inverso de la teoría de Galois, ecuaciones diofánticas y curvas de Shimura.
Una de sus contribuciones más importantes ha sido la organización desde 1986 del Seminario de Teoría de Números de Barcelona, un referente internacional en la investigación en teoría de números coordinado en la actualidad por la UB, UAB y la Universidad Politécnica de Cataluña (UPC).
Bayer es, además, miembro de la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelona, de la Real Academia de Doctores de Cataluña y del Instituto de Estudios Catalanes. Desde 2010, es académica numeraria de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.
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“On some results and conjectures in the theory of automorphic forms”, Pilar Bayer (Universitat de Barcelona)
Viernes, 12 de abril de 2019 – 12:00 h. Aula 520, Módulo 17, Departamento de Matemáticas, UAM