Niky Kamran trabaja en problemas de geometría diferencial, análisis geométrico y física matemática
Niky Kamran es James McGill Professor en el Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad McGill de Montreal (Canadá). Su investigación se engloba en los campos de la geometría diferencial, el análisis geométrico y la física matemática. Sus resultados en estos campos han supuesto avances significativos en problemas no lineales relacionados con la relatividad general y los agujeros negros, los sistemas diferenciales exteriores, la resolución y la teoría invariante de ecuaciones diferenciales parciales, los espectros de operadores, las métricas en geometría riemanniana y pseudo-riemanniana y otros problemas en la interfaz de la geometría, el análisis y la física. Recientemente, junto con Thierry Daude (Universidad de Franche-Comté, Besançon) y Francois Nicoleau (Universidad de Nantes), ha realizado importantes contribuciones a un importante problema del análisis geométrico: el problema de Calderón. El miércoles 14 de diciembre hablará sobre este tema en el Coloquio Conjunto ICMAT-UAM-UC3M-UCM, que tendrá lugar en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid, a la 13:00.
¿Podría explicar qué es un problema inverso?
En términos muy generales, un problema inverso consiste en recuperar las propiedades de un medio, a partir de medidas de su contorno.
¿Podría dar algunos ejemplos?
Un ejemplo importante de problema inverso, formulado matemáticamente, sería el de recuperar —salvo las equivalencias gauge naturales— la métrica de una variedad riemanniana compacta con frontera, conociendo la aplicación de Dirichlet-a-Neumann para el laplaciano; o un potencial mecánico cuántico, conociendo la aplicación de Dirichlet-a-Neumann para el operador de Schroedinger correspondiente. El primero de estos problemas tiene importantes aplicaciones prácticas en el campo de la imagen médica, en concreto, en una técnica conocida como tomografía de impedancia eléctrica.
Otro ejemplo de problema inverso, diferente a los anteriores, es recuperar una métrica riemanniana, a partir del espectro del laplaciano. Este es problema muy famoso y estudiado, que se conoce por la pregunta “¿Se puede oír la forma de un tambor?”, que es el título del artículo de Mark Kac que sentó las bases de este tema.
Además, recientemente se ha realizado un trabajo muy interesante sobre problemas inversos para operadores fraccionarios de Schrödinger.
¿En qué consiste el problema Calderón?
El problema de Calderón corresponde al primer ejemplo que he puesto de problema inverso. También se conoce como problema anisotrópico de Calderón; el caso isotrópico corresponde a la configuración geométrica en la que la métrica es conformemente plana. En este caso, la incógnita se reduce a una sola función —el factor conforme—, pero aun así el problema sigue siendo notablemente difícil.
¿Cuál fue la motivación inicial del problema?
En 1980 Alberto Calderón planteó el problema en el caso isotrópico en un artículo corto, muy importante. Aunque en él formula la cuestión en términos analíticos muy precisos, es posible que esta viniera motivada por los trabajos sobre modelos matemáticos de exploración geofísica de Calderón, en los inicios de su carrera como ingeniero. Aquello fue varias décadas antes de la publicación del artículo, antes de su partida de Argentina para realizar un doctorado en matemáticas en la Universidad de Chicago. Curiosamente, este es el artículo más citado de Calderón en MathSciNet.
¿Cuál es el estatus del problema actualmente?
El problema, en su forma general, sigue abierto.
¿Qué avances se han realizado?
El primer resultado importante sobre el problema anisotrópico de Calderón fue de John M. Lee y Gunther Uhlmann, que resolvieron la cuestión de manera positiva las métricas analíticas generales. Posteriormente, Matti Lassas y Uhlmann demostraron, mediante una técnica muy ingeniosa, diferente a la que se usó en el resultado anterior, que la estructura topológica y diferenciable de la variedad analítica de Riemann subyacente también está determinada por la aplicación Dirichlet a Neumann. También se han obtenido resultados muy potentes para ciertas geometrías especiales, bajo hipótesis de regularidad más débiles que la analiticidad: de Dos David Santos Ferreira, Carlos Kenig, Yaroslav Kurylev, Mikko Salo y Uhlmann, Colin Guillarmou y Antônio Sa Barreto, Russell Brown, Daniel Tataru, Boaz Haberman, Pedro Caro, Keith Rogers y otros. También me gustaría destacar los resultados de unicidad para dominios bidimensionales, extremadamente importantes, obtenidos por Adrian Nachman. Pero estos son solo unos pocos, se podrían mencionar muchos otros trabajos, es muy difícil hacer justicia a todas las contribuciones importantes al tema. De hecho, estoy seguro de que habré omitido sin darme cuenta algunos nombres importantes.
¿Cómo llegó usted a este problema?
Mis maravillosos colaboradores Thierry Daude y Francois Nicoleau me hablaron del problema anisotrópico de Calderón. Me siento muy afortunado de haber podido unir fuerzas con ellos para pensar en este hermoso problema.
¿Qué contribuciones ha realizado?
Thierry, Francois y yo hemos obtenido contraejemplos del problema anisótropo de Calderón en el caso suave, para datos disjuntos y para datos locales, en un caso en el que la métrica es suave en el interior de la variedad, pero solo Holder-continua en una de las componentes conexas de la frontera. También hemos obtenido resultados de unicidad en el caso suave para ciertas geometrías especiales, que son inherentemente diferentes de las anteriores, y que requieren un enfoque diferente.
En su opinión, ¿cuáles son los enfoques más prometedores en este momento?
Es muy difícil responder a esto. Creo que una mejor comprensión de los operadores que no satisfacen el principio de continuación única de Hormander podría ser una clave para seguir avanzando en este problema. Nuestro contraejemplo, en el caso de datos locales, se basa en usar la existencia de este operador, demostrada por Miller, y en explotar una nueva invariancia gauge de la aplicación de Dirichlet-a Neumann, con respecto a ciertos reescalados conformes especiales de la métrica.
¿En qué otros problemas está trabajando?
En varios problemas de geometría diferencial y física matemática.
¿Cómo describiría su forma de hacer matemáticas?
Trato de comprender tantos ejemplos como sea posible, comenzando por los más simples, antes de intentar enunciar y demostrar cualquier resultado de carácter general. Además, he tenido la fortuna, a lo largo de mi carrera, de poder colaborar con excelentes matemáticos de los que he aprendido mucho. Por ejemplo, he tenido el placer de colaborar con Alberto Enciso durante muchos años y estoy encantado de visitarlo en el ICMAT esta semana.