El próximo viernes 8 de noviembre a las 12:00 se celebrará la charla “Geometric Valuation Theory”, impartida por Monika Ludwig, matemática de la Technische Universität Wien, dentro del programa de Coloquios ICMAT-UAM. Pedro Tradacete, investigador del ICMAT, presenta en la siguiente entrada a la ponente y el tema de su conferencia: las valuaciones, un ingrediente fundamental del análisis geométrico.
Las valuaciones se podrían entender como una generalización del concepto de medida o volumen. El ejemplo más sencillo de una valuación definida en el espacio R³ es una función que asocia a cada cuerpo convexo en R³ su volumen. De forma general, una valuación es una aplicación V definida en cierta clase de conjuntos C que cumple la siguiente igualdad:
V(A?B)+ V(AnB)=V(A)+V(B), para todos los conjuntos A y B de C, cuya unión A?B e intersección AnB están también en C.
Este concepto, hoy central en el análisis geométrico, surgió al solucionar el problema número tres de la famosa lista que David Hilbert propuso en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1900. Esta cuestión se preguntaba si dados dos poliedros del mismo volumen, era posible descomponer el primero en una cantidad finita de poliedros que se pueda ensamblar para obtener el segundo poliedro. En 1901, Max Dehn –alumno de Hilbert– resolvió el problema, y, tal y como conjeturaba su maestro, lo hizo dando un contrajemplo. Fue el primer problema resuelto del listado de Hilbert. En dimensión 2, la misma pregunta sobre polígonos tiene respuesta afirmativa (es el llamado Teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien, propuesto a comienzos del s. XIX).
Por otro lado, el teorema de Hadwiger, uno de los resultados más elegantes y fundamentales en análisis convexo clasifica las valuaciones sobre cuerpos convexos (en cualquier dimensión), que son invariantes por rotación y traslación. En la actualidad, el interés en la teoría de valuaciones se ha trasladado en parte a clasificar valuaciones en espacios de funciones. Por ejemplo, se han estudiado las valuaciones en los espacios de funciones integrables Lp, en espacios de funciones continuas, convexas, regulares (espacios de Sobolev)…
En los últimos años se han obtenido importantes resultados de clasificación de valuaciones, definidas en diferentes clases de conjuntos. Este viernes, 8 de noviembre, una de las expertas internacionales en el campo, Monika Ludwig, presentará un resumen de las aportaciones más relevantes. Será dentro del programa conjunto de coloquios ICMAT-UAM, a las 12:00 en el Aula 520 del Módulo 17 (Departamento de Matemáticas) de la Facultad de Ciencias de la UAM.
Entre las contribuciones de la ponente destacan su clasificación (junto con Matthias Reitzner) de valuaciones en cuerpos convexos que quedan invariantes por la acción del grupo SL(n). También han sido especialmente influyentes sus trabajos sobre valuaciones con rango en las matrices o en la clase de cuerpos convexos con la suma de Minkowski. Su impacto ha sido reconocido recientemente, siendo nombrada como conferenciante plenaria del próximo European Congress of Mathematics que se celebrará en Eslovenia en 2020.
“Geometric Valuation Theory”. Coloquio ICMAT-UAM
Ponente: Monika Ludwig (Technische Universit¨at Wien)
Viernes 8 de noviembre, 12:00
Aula 520, Módulo 17, Departamento de Matemáticas, UAM
Abstract: A fundamental theorem of Hadwiger classifies all rigid-motion invariant and continuous functionals on convex bodies (that is, compact convex sets) in R^n that satisfy the inclusion-exclusion principle, Z(K) + Z(L) = Z(K ? L) + Z(K n L) for convex bodies K, L such that K ?L is convex. Under weak additional assumptions, such a functional Z is a finitely additive measure and hence Hadwiger’s theorem is a counterpart to the classification of Haar measures. Hadwiger’s theorem characterizes the most important functionals in Euclidean geometry, the n+ 1 intrinsic volumes, which include volume, surface area, and the Euler characteristic. In recent years, numerous further valuations defined on the space of convex bodies and more generally on function spaces were characterized by their properties. An overview of these results will be given.