Del 2 al 5 de agosto, el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) alberga –de forma online– la primera escuela de verano New Developments in Momentum Polytope Theory. El encuentro, dirigido a investigadores con interés en el tema, está precedida por un simposio celebrado la semana pasada, que reunió a algunos de los grandes expertos mundiales en esta activa rama de la mecánica geométrica.
La aplicación momento es la extensión natural del momento linear y el momento angular de la mecánica. Tiene gran importancia en mecánica pues permite reducir la dimensión del espacio de fases, y ayuda, por tanto, a la integración de las ecuaciones del movimiento. Estos espacios de fases poseen una estructura geométrica relevante: son variedades simplécticas.
Mientras que las simetrías de un sistema constituyen un grupo de Lie, las variedades simplécticas son una contrapartida antisimétrica de las variedades riemannianas. Así, en cierta manera, la aplicación momento ofrece un teorema de Noether global, ya que permite obtener todas las cantidades conservadas de una sola vez.
En 1978, Michael Atiyah, por un lado, y Victor Guillemin y Shlomo Sternberg, por otro, probaron que, bajo ciertas hipótesis, la imagen de la llamada aplicación momento –cuando el grupo que actúa sobre la variedad simpléctica es un toro– era convexa, de hecho, es lo que se llama un politopo. Algunos ejemplos de politopos son los polígonos planos o los poliedros regulares. El concepto clásico de politopo fue creado por Alicia Boole Stott, hija del matemático George Boole.
A partir de estas aportaciones pioneras de Atiyah, Guillemin y Sternberg, muchos autores se han dedicado a extender sus resultados a grupos no abelianos y a otro tipo de estructuras geométricas –de contacto, Sasakianas, o hiper-Kähler–, creándose así un activo campo de investigación llamado teoría de politopos de momentos o politopos simplécticos
En el simposio New Developments in Momentum Polytope Theory, que ha tenido lugar de forma online en el ICMAT del 26 al 31 de julio, y en la escuela de mismo nombre, que se está celebrando del 2 al 5 de agosto, se pretende ofrecer una puesta sobre estos temas, así como introducir a investigadores jóvenes en el área.
Para ello, participan en los eventos tanto investigadores que se están introduciendo en el campo, como especialistas, con diferentes perspectivas. “Aunque teoría de politopos de momentos proviene de los sistemas mecánicos, se puede tratar de una manera abstracta desde el punto de vista de la geometría diferencial y los sistemas dinámicos”, asegura Manuel de León (ICMAT-CSIC), coorganizador del evento junto a Amna Shaddad (Marie Curie fellow en el ICMAT).
“En este sentido, es notable el resultado de Thomas Delzant, que establece una correspondecia entre variedades simplécticas sobre las que actúan toros y politopos, convirtiendo el estudio de las propiedades de las variedades simplécticas en un estudio más simple de objetos discretos, que son los politopos”, señala. “Esta visión multidisciplinar ha conducido a la existencia de dos direcciones de trabajo en el área: por una parte, expertos que profundizan en los aspectos teóricos (cohomología y homología, sistemas integrables, singularidades, espacios de moduli, etc); y por otra, los que buscan las aplicaciones de los resultados a la dinámica. En ambas líneas hay todavía grandes retos, como prueba la cantidad de artículos publicados en estos últimos años”, concluye De León.
Escuela y simposio
En la escuela se incluirán tres minicursos, impartidos por: Stephanie Cupit-Foutou (Ruhr University Bochum), Álvaro Pelayo (UC San Diego) y Elisa Prato (Università degli Studi di Firenze).
A ello se suma una sesión de posters. El programa completo así como más información sobre la escuela puede consultarse aquí.
En el siguiente enlace puede consultarse la información relativa al simposio: programa, participantes, etc.