Entrevista
La investigadora es la ponente del próximo coloquio conjunto ICMAT-UAM-UCM-UC3M, que tendrá lugar el 29 de septiembre, e impartirá un curso en el congreso Young Researchers in PDEs, ambas actividades celebradas en el Instituto.
Laura M. Iraola (ICMAT)
Yao Yao, profesora asociada en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional de Singapur, es especialista en el análisis matemático de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) no lineales presentes en la mecánica de fluidos y en la biología matemática. Será la ponente del próximo coloquio organizado por el ICMAT y las universidades Autónoma, Complutense y Carlos III de Madrid, que tendrá lugar el 29 de septiembre en el Aula Azul del ICMAT: “Suppression of chemotactic blow-up by active advection”. Además, la investigadora participa, del 25 al 29 de septiembre, en el congreso Young Researchers in PDEs, que también tiene lugar en el Instituto, en el que impartirá el curso “Symmetry and uniqueness via a variational approach”. La actividad se enmarca dentro del programa temático en EDP del ICMAT y la Universidad Autónoma de Madrid que se celebra de junio a diciembre de 2023.
Yao Yao. Imagen: Universidad Nacional de Singapur (NUS)
En su coloquio se centrará en la ecuación de Keller-Segel, ¿cómo surge?
La conducta colectiva se observa comúnmente en muchas especies animales, desde aves que vuelan en grupo hasta bacterias que se agrupan. Si rastreáramos el movimiento de cada individuo y quisiéramos describirlo, obtendríamos un sistema de millones de ecuaciones diferenciales ordinarias. En cambio, podemos estudiar la función de densidad. En concreto, nos interesa tomar su límite continuo y seguir su evolución, que está descrita por una ecuación en derivadas parciales (EDP), que generalmente es no lineal y no local: la ecuación de Keller-Segel.
¿En qué otros contextos aparece?
Se trata una de las EDP más estudiadas en la conducta colectiva. Por ejemplo, también modela células atraídas por una sustancia química que ellas mismas emiten (un fenómeno llamado quimiotaxis). La ecuación describe dos efectos competitivos: por un lado, las células realizan un movimiento browniano, lo que hace que su función de densidad se distribuya de manera más uniforme y suave; por otro lado, el efecto de agregación, que tiende a concentrar la densidad. Esta ecuación ha sido estudiada extensamente durante 50 años, tanto por su capacidad para capturar el fenómeno de la quimiotaxis como por su análisis, que requiere matemáticas profundas e interesantes.
¿Tiene alguna aplicación en otros campos?
La ecuación de Keller-Segel tiene una gran conexión con varias áreas. A menudo se obtienen estimaciones cuantitativas del comportamiento asintótico de las soluciones de la ecuación mediante métodos de entropía, y su estudio ha resultado en avances emocionantes en desigualdades funcionales. La ecuación también aparece en la física bajo el nombre de sistema Smulochowski-Poisson, donde modela el campo medio de muchas partículas brownianas que se atraen gravitacionalmente.
Además, también se relaciona con la dinámica de fluidos, ¿no es así?
Sí, hace poco, empecé a trabajar en acoplar la ecuación de Keller-Segel con la dinámica de fluidos. Desde una perspectiva biológica, esto es más realista, ya que muchos procesos de quimiotaxis ocurren en fluidos. Sin embargo, matemáticamente, estudiar este nuevo sistema supone un gran desafío, ya que carece de la estructura de flujo de gradientes. En consecuencia, muchas preguntas fundamentales, como la posibilidad de que se dé una explosión en tiempo finito, permanecían abiertas. En un trabajo reciente, del que hablaré en el coloquio, mis colaboradores y yo nos enfocamos en este nuevo sistema y demostramos un resultado sorprendente: el sistema siempre exhibe soluciones globalmente regulares, independientemente de cuán pequeña sea la fuerza de acoplamiento. Este resultado contrasta con la ecuación de Keller-Segel en sí, donde ya sabíamos que se puede dar una explosión en tiempo finito.
Más allá de este tema, ¿qué tipo de preguntas se están tratando de entender en el campo de las EDP no lineales? ¿Cuáles son los principales desafíos en este momento?
Desde el punto de vista matemático, interesan algunas de las preguntas como: partiendo de datos iniciales suaves, ¿pueden las soluciones tener una singularidad en tiempo finito? Si es así, ¿cómo se forma la singularidad? Si no, ¿cuál es el comportamiento a largo plazo de las soluciones? Por otro lado, ¿qué podemos decir sobre los estados estacionarios de la ecuación? ¿Podemos clasificarlos y son atractores globales de la dinámica? Recientemente, variaciones de la ecuación de Keller-Segel también han atraído mucho interés. Por ejemplo, la que surge al acoplar la evolución de la densidad con un fluido o introducir difusión degenerada para modelar el efecto antihacinamiento. Los desafíos en el análisis radican en el hecho de que estas ecuaciones son no lineales y no locales, por lo que muchos métodos clásicos en EDP, como el principio de comparación, no son aplicables.
¿Cómo comenzó su investigación en esta área y cuáles son sus contribuciones?
Cuando estudiaba el posgrado me empecé a sentir fascinada por la estructura de flujo de gradientes de este tipo de ecuaciones. Su evolución se puede entender formalmente como un flujo de gradientes de alguna función de energía libre en la distancia de Wasserstein, donde las soluciones evolucionan en la dirección en la que esta energía disminuye más rápidamente. Uno de mis objetivos a largo plazo es explorar si esta estructura de flujo de gradientes puede proporcionarnos algunas ideas nuevas que de otro modo serían difíciles de obtener utilizando técnicas tradicionales de EDP. Junto con algunos de mis colaboradores, a lo largo de los años hemos avanzado en el estudio de los estados estacionarios de la ecuación de agregación-difusión utilizando su estructura de flujo de gradientes.
¿También está interesada en otros campos de investigación?
Como ya he comentado, también me interesa el análisis de EDP en dinámica de fluidos. Los fluidos son omnipresentes en la naturaleza, pero las ecuaciones que los modelan son de las EDP más difíciles de analizar. Para muchas ecuaciones fundamentales de fluidos, la regularidad global frente a la explosión en tiempo finito de sus soluciones sigue siendo un gran misterio. De hecho, incluso para las ecuaciones cuyo planteamiento global se conoce, sigue siendo un gran reto establecer el comportamiento a largo plazo de sus soluciones para el caso sin disipación. En particular, ¿la solución puede tener ciertas normas que crecen hasta el infinito a medida que el tiempo avanza hacia el infinito? Esta es una pregunta importante. Junto con mis colaboradores, estamos buscando construir ejemplos rigurosos de formaciones a pequeña escala para diversas ecuaciones, como la ecuación incompresible de medios porosos y la ecuación de Boussinesq en 2D.
