Título: Rigorous Computer-Assisted Application of KAM Theory: A Modern Approach.
Autor(es): Jordi-Lluís Figueras (University of Uppsala), Alex Haro (Universitat de Barcelona) y Alejandro Luque (ICMAT).
Fuente: Foundations of Computational Mathematics.
Fecha de publicación: 17 de Noviembre de 2016.
doi: 10.1007/s10208-016-9339-3
Gracias a este trabajo, los autores fueron reconocidos el pasado mes de junio con el premio "Barcelona Dynamical Systems 2017" de la Societat Catalana de Matematiques (SCM).
Abstract: La llamada teoría KAM recoge una colección de métodos para estudiar persistencia de cierto tipo de soluciones para sistemas de ecuaciones que surgen de problemas físicos. En concreto se utilizan para resolver sistemas hamiltonianos, que sirven para modelar problemas de mecánica clásica, como los de mecánica celeste, astrodinámica y aceleradores de partículas. En muchas ocasiones es muy complicado (o muy costoso) encontrar soluciones generales para estos sistemas, por lo que se estudia la aparición de cierto tipo de soluciones concretas, como por ejemplo las llamadas soluciones cuasi-periodicas. Éstas corresponden a movimientos que oscilan con más de una frecuencia (linealmente independientes), y están confinadas en un espacio geométrico: una variedad de geometría toroidal (toro invariante) en el espacio de fases. Estas soluciones juegan un papel fundamental, ya que representan el tipo de movimiento estable que podemos observar en este tipo de problemas, y por tanto permiten organizar la dinámica del resto de soluciones.
El origen de la teoría KAM se remonta a los trabajos de Andrey Kolmogorov (1954), Vladimir Arnold (1963) y Jürgen Moser (1962), cuyas iniciales forman el acrónimo KAM. En aquellos años era bien conocido que el espacio de fases de los sistemas integrables se organiza mediante toros invariantes con dinámica casi-periódica. La teoría KAM establece condiciones suficientes para garantizar la persistencia de dichas estructuras al considerar perturbaciones del problema. Dichas condiciones son muy genéricas, y es de esperar que se cumplan en general, pero verificarlas en un sistema concreto entraña una gran dificultad. Esto es debido a que las coordenadas naturales para describir un sistema mecánico no son las adecuadas para interpretar las hipótesis del teorema KAM. Además, los problemas de mecánica celeste presentan degeneraciones que dificultan la tarea.
Por otro lado, además de disponer de un teorema que garantice la persistencia de toros invariantes para perturbaciones pequeñas, es relevante conocer el umbral de validez del teorema (esto es, el tamaño de la perturbación que podemos admitir). Esto es importante puesto que, si bien es cierto que muchos problemas que aparecen en la naturaleza son cercanos a un problema integrable, no es cierto que podamos modelarlos mediante perturbaciones arbitrariamente pequeñas. Durante mucho tiempo, la teoría KAM fue objeto de crítica a efectos de su aplicación práctica, debido a que su umbral de validez parecía ser ridículamente pequeño. Esta observación fue manifestada por el astrónomo francés Michel Hénon, quien obtuvo un umbral de validez del orden de 10-333 en los inicios de la teoría. El mismo Hénon, en analogía con la hipotética frase eppur si muove de Galileo, remarcó que sus observaciones numéricas indicaban que los toros invariantes continuaban existiendo bajo perturbaciones mayores. En consecuencia, para obtener aplicaciones relevantes y realistas del teorema KAM es importante poder considerar sistemas concretos así como determinar valores específicos de los parámetros para los que el resultado aplica.
En el artículo Rigorous Computer-Assisted Application of KAM Theory: A Modern Approach” se presenta una metodología general para aplicar el teorema KAM a sistemas concretos para valores realistas de los parámetros (esto es, admitiendo perturbaciones grandes). Para ello, Jordi-Lluís Figueras (University of Uppsala), Alex Haro (Universitat de Barcelona) y Alejandro Luque (ICMAT) han desarrollado un amplio abanico de resultados analíticos y computacionales: un teorema KAM en formato a-posteriori con constantes explícitas; análisis asistido por ordenador; métodos rigurosos de transformada rápida de Fourier; determinación explícita de constantes diofánticas, estimaciones de Rüssmann mejoradas; y aproximaciones numéricas muy precisas de toros invariantes.
Obtener toros KAM para valores de parámetros realistas ha sido un problema de gran interés en las últimas décadas. Los primeros empeños tuvieron lugar a finales de los 80, al estudiar algunos problemas de Mecánica Celeste así como también el mapeo estándard de Chirikov. Éste último es un modelo sencillo para entender el comportamiento de sistemas hamiltonianos de dos grados de libertad. Pero estos métodos, basados en teoría de perturbaciones y en formas normales, proporcionaban algoritmos computacionalmente costosos y producían estimaciones relativamente pesimistas del umbral de validez (a pesar de que estaban implementados específicamente para las aplicaciones consideradas).
La nueva metodología propuesta por los investigadores en su trabajo publicado en Foundations of Computational Mathematics permite aplicar el teorema KAM al mapeo de Chirikov hasta un valor que difiere en un 0,004% del valor umbral observado numéricamente (anteriores empeños obtuvieron un 6%).
En el artículo se consideran también otros ejemplos: el caso de curvas con meandros (que no son grafos y pueden tener complicadas topologías relativas) en el mapeo estándar no-twist y el caso de toros bidimensionales en la família de Froeschlé (que es un modelo sencillo para entender el comportamiento de sistemas hamiltonianos con 3 grados de libertad). Esta es la primera vez que estos objetos han sido validados rigurosamente para valores específicos (y grandes) de parámetros. En cualquier caso, cabe enfatizar que el teorema KAM y la metodología presentados, así como el algoritmo descrito, son suficientemente generales para ser utilizados en una amplia variedad de problemas.
Una de las dificultades principales a la hora de verificar las hipótesis del teorema KAM es controlar la norma analítica de ciertas funciones que se obtienen mediante operaciones algebraicas, derivación, composición e inversión de objetos definidos sobre una aproximación de un toro invariante. Esto significa que es necesario dar cotas rigurosas del tamaño de estas funciones en un domino complejo. Para tal fin, se presenta una metodología rigurosa asistida por ordenador. Dicha metodología usa transformada rápida de Fourier (FFT) en combinación con un teorema que permite controlar el error al aproximar funciones usando FFT. La estrategia presentada supera con creces el uso de manipuladores simbólicos, permitiendo así operar cómodamente con millones de coeficientes de Fourier. En este trabajo, además de presentar un algoritmo de validación de gran rendimiento computacional, se desarrollan nuevas herramientas teóricas para estudiar problemas de pequeños divisores que permiten, por ejemplo, caracterizar las propiedades diofánticas de un vector de frecuencias dado.
Sobre los autores:
Jordi-Lluis Figueras es profesor lector tenure-track (Biträdande Lektor) en la University of Uppsala. Su investigación se centra en el estudio de rotura de toros invariantes hiperbólicos, las demostraciones asistidas por ordenador en sistemas dinámicos, los métodos numéricos rigurosos para EDPs, y los sistemas “skew-product”.
Alex Haro es profesor titular en la Universitat de Barcelona. Realiza su investigación en diversas ramas del campo de sistemas dinámicos, desde variedades normalmente hiperbólicas hasta teoría KAM, así como conexiones con teoría espectral.
Alejandro Luque es investigador postdoctoral en el ICMAT. Realiza su trabajo en el área de sistemas dinámicos, con especial atención a sistemas hamiltonianos. Sus trabajos se basan en la caracterización de estabilidades e inestabilidades, usando métodos analíticos, geométricos y numéricos.
