Titulo: Infinitesimal moduli for the Strominger system and Killing spinors in generalized geometry.
Autor(es): Mario Garcia-Fernandez (ICMAT), Roberto Rubio (IMPA), Carl Tipler (Université de Bretagne Occidentale).
Fuente: Mathematische Annale.
Fecha de publicación: 1 de septiembre de 2016.
Doi: 10.1007/s00208-016-1463-5
Abstract: El llamado sistema de Strominger de ecuaciones en derivadas parciales tiene su origen en la teoría de cuerdas de la física. La primera vez que se consideró en la literatura matemática fue en un artículo del medallista Fields Shing-Tung Yau y el investigador de la Universidad de Standford Jun Li, publicado en 2005 en el Journal of Differential Geometry. El estudio matemático de esta ecuación se propuso como una generalización del problema de Calabi, resuelto en 1977 por Yau.
El problema de existencia de soluciones para el sistema de Strominger ha sido un tema de investigación muy activo durante los últimos diez años. Siguiendo la solución que dio al problema de Calabi, Yau propuso una conjetura fundamentada en las familias de ejemplos construidos hasta la fecha. Dicha conjetura permanece abierta, principalmente debido a la imposibilidad de aplicar técnicas que funcionaron en el problema de Calabi (de geometría Kähler) y por la falta de comprensión de la geometría de las ecuaciones.
En relación con la conjetura de Yau aparece el problema de la construcción de un espacio de moduli de soluciones para el sistema de Strominger. Esta cuestión está también motivada por la clasificación de variedades de Calabi-Yau en geometría algebraica (la llamada fantasía de Reid), y por sus relaciones con la simetría espejo. Las ecuaciones de Strominger, así como otras muchas ecuaciones provenientes de la física, admiten familias continuas de soluciones, debido a la existencia de simetrías gauge que preservan las ecuaciones. Una solución al problema de moduli consiste en construir una variedad diferenciable, cuyos puntos parametrizan soluciones del sistema, módulo simetrías. Las ecuaciones dictan una geometría en esta variedad, que subyace al problema de existencia de soluciones. Pero por el momento el problema de moduli para el sistema de Strominger permanece abierto, incluso se desconoce la estructura geométrica del espacio de soluciones alrededor de una solución dada.
En un artículo publicado recientemente en Mathematische Annalen, Mario Garcia-Fernandez (ICMAT), Roberto Rubio (IMPA) y Carl Tipler (Université de Bretagne Occidentale) han hecho una contribución al problema. Los investigadores han construido el espacio de variaciones infinitesimales de una solución y un espacio de obstrucciones a la integrabilidad, demostrando que estos espacios son de dimensión finita mediante la teoría de operadores elípticos. También han iniciado el estudio de la geometría del espacio de moduli, y han descubierto una foliación natural, es decir, una descomposición en capas (hojas) del espacio de moduli, dadas por subvariedades de dimensión inferior. Estas capas están en correspondencia con (clases de homotopía de) estructuras de cuerda, un tipo de estructura topológica muy sofisticada introducida por Timothy Killingback y Edward Witten en los años ochenta.
Estudiando el espacio tangente a una hoja, los autores encontraron una relación sorprendente con la geometría generalizada, introducida por el profesor Nigel Hitchin (Universidad de Oxford). Para ello ofrecieron una interpretación de las hojas como espacios de moduli de las soluciones de ciertas ecuaciones (de naturaleza espinorial) sobre una estructura algebraica llamada algebroide de Courant, determinado por la elección de una estructura de cuerda. Esta construcción ofrece un marco unificador para métricas con holonomía especial, según la clasificación de Berger, y para soluciones del sistema de Strominger, que se espera que tengan aplicaciones a la conjetura de Yau.
Los métodos que se usan en este trabajo han sido clave en la reciente demostración de un principio de T-dualidad para las ecuaciones de Strominger, firmada por Mario Garcia-Fernandez, que relaciona pares de soluciones en variedades con diferente topología.
