Title: Approximation theorems for parabolic equations and movement of local hot spots
Author (s): Alberto Enciso (ICMAT), Daniel Peralta (ICMAT) y Mª Ángeles García-Ferrero (Instituto Max Planck en Leipzig)
Source: Duke Mathematical Journal
Date of publication: In press.
Abstract: Las placas vitrocerámicas de nuestras cocinas alcanzan la temperatura más alta en su centro. Sin embargo, sería posible calentarlas de manera que los puntos de máximo calor se moviesen siguiendo cualquier trayectoria escogida. Esto es lo que han demostrado Alberto Enciso, Daniel Peralta, investigadores del ICMAT, y María Ángeles García-Ferrero, investigadora del Instituto Max Planck en Leipzig, en el artículo “Teoremas de aproximación para ecuaciones parabólicas y el movimiento de puntos calientes locales”, aceptado por la revista Duke Mathematical Journal, donde aparecerá publicado próximamente.
La difusión del calor se describe mediante una ecuación obtenida a partir de la ley de Fourier – que establece cómo se transmite la energía a través de un material – y el principio de conservación de la energía. El resultado es una ecuación en derivadas parciales de tipo parabólico. La ecuación muestra cómo varía la temperatura en una región a lo largo del transcurso del tiempo.
Aunque no es sencillo obtener las soluciones, sí es posible estudiar sus propiedades. En concreto, uno de los aspectos interesantes a estudiar son los valores máximos, y su evolución en un periodo determinado. Ahora, Enciso, Peralta y García-Ferrero han probado que se puede describir el movimiento de estos puntos de máxima temperatura si se eligen condiciones iniciales de la ecuación adecuadas, es decir, la distribución del calor en el momento de partida. Lo han conseguido al desarrollar nuevos teoremas de aproximación para ecuaciones parabólicas. Concretamente, han extendido al caso parabólico la teoría que Enciso y Peralta crearon para estudiar las propiedades geométricas de ecuaciones elípticas, y que les sirvió para, entre otras cosas, demostrar una conjetura planteada por Lord Kelvin hace casi 150 años.
More information: We prove a global approximation theorem for a general parabolic operator L, which asserts that if v satisfies the equation Lv=0 in a spacetime region Ωsatisfying certain necessary topological condition, then it can be approximated in a Hölder norm by a global solution u to the equation. If Ω is compact and L is the usual heat operator, one can instead approximate the local solution v by the unique solution that falls off at infinity to the Cauchy problem with a suitably chosen smooth, compactly supported initial datum. These results are next applied to prove the existence of global solutions to the equation Lu=0 with a local hot spot that moves along a prescribed curve for all time, up to a uniformly small error. Global solutions that exhibit isothermic hypersurfaces of prescribed topologies for all times and applications to the heat equation on the flat torus are discussed too.
