Autores: J. Ignacio Cirac, David Pérez-García (ICMAT-UCM), Norbert Schuch, and Frank Verstraete
Fuente: Reviews in Moderns Physics vol. 93, iss. 4
Fecha de publicación: 17 de diciembre de 2021
Resumen:
Cuando se habla de diferentes fases en física, lo primero que viene a la mente es la división en sólido, líquido y gas, donde la temperatura es el parámetro que los conecta, a través de puntos de transición de fase. A temperatura cero (o cercana a cero), donde la mecánica cuántica es la ley física que rige el sistema, también hay diferentes fases interconectadas a través de transiciones de fase. Las propiedades exóticas e inesperadas de algunas de estas fases cuánticas, como la superconductividad, la superfluidez, las estadísticas fraccionarias, la dependencia topológica, etc., han atraído la atención de los físicos durante muchos años.
¿Hay alguna forma de clasificar todas las fases cuánticas de la materia? Resolver esta pregunta ha sido un reto importante para la comunidad de física matemática durante las últimas décadas. La categoría de “Estados de pares entrelazados proyectados” (PEPS), presentada por Cirac y Verstraete en 2004, ha sido una de las herramientas clave para abordarlo.
Los PEPS tienen dos propiedades clave. Por un lado, se aproximan bien a todos los estados de baja energía de muchos sistemas cuánticos y por otro, son lo suficientemente complejos como para cubrir todas las fases cuánticas de la materia. Además, todas las propiedades globales de un PEPS están codificadas en un objeto particular –un tensor local–, que puede entenderse como el ADN del sistema, de donde en principio se pueden obtener todas las propiedades globales observables.
El problema de la clasificación de fases se reduce entonces a comprender cómo se caracterizan localmente las propiedades globales en PEPS. Esta cuestión de contraponer el comportamiento local con el global es un problema que aparece de forma recurrente en muchas áreas y problemas de las matemáticas.
El objetivo principal del artículo “Estados de productos de matrices y estados de pares entrelazados proyectados: conceptos, simetrías, teoremas” es revisar el estado del arte sobre este problema.
Tal vez no sea sorprendente, ya que al final la física tiene que ver con las simetrías, que son precisamente las simetrías del tensor local las que hacen emerger toda la plétora de exóticas propiedades globales.
Por supuesto, el objetivo es comprender los objetos matemáticos relevantes detrás de esas simetrías, que resultan ser en este caso una generalización bastante abstracta de la noción de grupo, denominada álgebra de Hopf débil. Los objetos elementales en la teoría de la representación de las álgebras de Hopf débiles pueden entenderse precisamente como partículas que pueden fusionarse generando nuevas partículas, siguiendo un conjunto de “reglas de fusión”. Es precisamente el comportamiento de esas “partículas” el responsable de las propiedades globales del estado.
Las mismas técnicas requeridas para probar esos resultados se extienden mucho más allá del problema de clasificar las fases cuánticas de la materia. Por ejemplo, también permiten estudiar y clasificar autómatas celulares cuánticos, analizar el tiempo de vida de las memorias cuánticas o incluso diseñar nuevos métodos de aprendizaje automático con mayores garantías de privacidad.
