Título: “The base change in the Atiyah and the Lück approximation conjectures”
Autores: Andrei Jaikin-Zapirain (ICMAT-UAM)
Fuente: Geometric and Functional Analysis 29 (2019), no. 2, 464538
Fecha de publicación: 2019
Link: https://link.springer.com/journal/39/volumes-and-issues/29-2
En 1976, Michael Atiyah introdujo la noción de cohomología L2 para variedades que admiten una acción co-compacta de un grupo contable. Un ejemplo canónico es el recubrimiento universal de una variedad compacta junto con la acción del grupo fundamental de la variedad por transformaciones recubridoras. Atiyah quería extender la teoría de índice de Atiyah-Singer de operadores elípticos a variedades no compactas. Para ello definió los números L2 de Betti como dimensiones de von Neumann de grupos de cohomología L2 correspondiente. Más tarde Jósef Dodziuk generalizó la noción de números L2 de Betti a un contexto más general de grupos actuando sobre CW complejos. Existe también una manera de introducir los números L2 de Betti de forma algebraica:
Sea F un grupo libre finitamente generado y sea A ∈ Matn×m([F])una matriz sobre el anillo de grupo [F]. Para cada cociente G = F/N de F podemos definir una función de rango sobre las matrices con entradas en [F], de tal forma que rkG(A) sea el rango de von Neumann del operador ΦG,A : l2(G)n → l2(G)m, que se obtiene al aplicar la multiplicación por la derecha con la matriz A. Los números rkG(A) se llaman números L2 de Betti de G.
Por ejemplo, en el caso que G es finito, Kaplansky y de la conjetura de Malcev para [G]. Así, si G no tiene torsión, la conjetura de Kaplansky dice que [G] es un dominio y la conjetura de Malcev que [G] es un subanillo de un anillo de división. El segundo de los problemas, la conjetura de aproximación de Lück, es una afirmación sobre las propiedades de convergencia de los números L2 de Betti. Por ejemplo, una de sus variaciones predice que la aplicación N → rkF/N (A) es continua en el espacio de grupos marcados.
En este artículo, Andrei Jaikin-Zapirain obtiene avances sobre estas dos cuestiones. En un primer resultado, el autor demuestra la conjetura de aproximación de Lück sófica. En particular, prueba que N → rkF/N (A) es continua en el espacio de grupos marcados sóficos. Mikhail Gromov introdujo el concepto de grupos sóficos, que son, de forma informal, grupos cuyo grafo de Cayley se puede aproximar con grafos finitos. Por el momento, no se conoce ningún grupo no sófico.
Una aplicación inmediata de la aproximación de Lück sófica es que cualquier grupo sófico satisface la propiedad de valores propios algebraicos, que puede expresarse de la siguiente manera: Si G es finito y A es una matriz cuadrada sobre K[G] (donde K es un subcuerpo de ), entonces cualquier valor propio λ de ΦG,Aes una raíz del polinomio característico de ΦG,Ay, por lo tanto, es algebraico sobre K. Decimos que un grupo G satisface la propiedad de valores propios algebraicos si los autovalores de ΦG,A son algebraicos sobre K para cualquier matriz A con coeficientes en K[G]. La conjetura de valores propios algebraicos, formulada por Jósef Dodziuk, Peter Linnell, Varghese Mathai, Thomas Schick, y Stuart Yates en 2003, predice que la propiedad de valores propios algebraicos se cumple para cualquier grupo G.
En el segundo resultado principal de artículo el autor aplica la aproximación de Lück sófica y demuestra que la conjetura fuerte de Atiyah se cumple para una clase grande de grupos, que incluyen los grupos virtualmente especiales cocompactos, los grupos de trenzas de Artin y los grupos pádicos analíticos sin torsión.
