Título: “The BMO-Dirichlet problem for elliptic systems in the upper half space and quantitative characterizations of VMO”
Autores: José María Martell (ICMATCSIC), Dorina Mitrea (Universidad de Missouri), I. Mitrea (Universidad de Temple) y Marius Mitrea (Universidad de Missouri)
Fuente: Analysis & PDE 12 (2019), no. 3, 605720
Fecha de publicación: 2019
Link: https://msp.org/apde/2019/12-3/p01.xhtml
En 1976 E.B. Fabes, R.L. Johnson y U. Neri establecieron que el llamado problema de Dirichlet en el semiplano superior n+, con n ≥ 2 asociado al laplaciano y con dato en la frontera que pertenece al espacio de funciones de oscilación media acotada (BMO), está bien propuesto –es decir, tiene una única solución– cuando las derivadas de primer orden de las soluciones satisfacen una condición de medida de Carleson. Adicionalmente, probaron un resultado de tipo Fatou, que les permitió describir el espacio BMO como la colección de funciones que se obtienen al tomar las trazas de las funciones amónicas cuyas derivadas satisfacen la correspondiente condición de medida Carleson. En este reciente trabajo, J.M. Martell, D. Mitrea, I. Mitrea y M. Mitrea extienden estos resultados en varios sentidos. En primer lugar, consideran sistemas de ecuaciones elípticas con coeficientes complejos constantes, hecho que les permite tratar, por ejemplo, versiones complejas del sistema de Lamé que modela la elasticidad. Adicionalmente, además de considerar datos en la frontera que pertenecen a BMO, estudian los que se encuentran en su subespacio VMO –donde la oscilación media converge uniformemente a 0 al ser considerada en cubos cuyo tamaño se hace arbitrariamente pequeño. En ese caso la clase natural de soluciones satisface una propiedad adicional: las derivadas de las soluciones cumplen una condición medida de Carleson “vanishing”, es decir, la constante asociada a la medida de Carleson se hace uniformemente pequeña cuando se tratan escalas que convergen a 0.
En esa misma dirección los autores también establecen resultados de tipo Fatou para ambos conjuntos BMO y VMO, siendo capaces de identificar cada uno de estos espacios con las trazas de las soluciones de estos operadores, cuyas derivadas satisfacen una condición de medida de Carleson –que son adicionalmente “vanishing” en el caso de VMO. Una consecuencia notable de estos resultados es que demuestran que las funciones suaves en BMO son densas en VMO, hecho que mejora el resultado clásico de Sarason –que describía VMO como el cierre en BMO de las funciones uniformemente continuas. Martell, Mitrea, Mitrea, y Mitrea demuestran esta afirmación sobre la densidad en VMO, que pertenece al área de la variable real, usando las ecuaciones en derivadas parciales, pues dada una función en VMO la aproximan en el espacio BMO usando, precisamente, la solución al problema de Dirichlet asociado.
