Global Existence of QuasiStratified Solutions for the Confined IPM Equation

Título: “Global Existence of QuasiStratified Solutions for the Confined IPM Equation”

Autores: Ángel Castro (ICMATCSIC), Diego Córdoba (ICMATCSIC) y Daniel Lear (ICMATCSIC)

Fuente: Archive For Rational Mechanics and Analysis 232 (2019), 437471

Fecha de publicación: 2019

Link: https://arxiv.org/abs/1804.08490

 

La ecuación de los medios porosos incompresibles (IPM, por sus siglas en inglés) modela el movimiento de fluidos incompresibles, como el agua, a través de un medio que los contiene y frena, por ejemplo, la arena. Las variables que se utilizan para estudiar este movimiento son la velocidad del fluido, su densidad y su presión. El sistema resultante está compuesto por tres ecuaciones que expresan la ley de la conservación de la masa, la condición de incompresibilidad y la ley de Darcy, que declara que en un medio poroso la velocidad del fluido es proporcional a las fuerzas que actúan sobre él. En este artículo los autores consideran que el fluido sólo está sometido a las fuerzas de presión y a la gravedad, de manera que el sistema de tres ecuaciones, puede ser reducido a una única ecuación de transporte para la densidad, cuyas soluciones determinan como son en el futuro la densidad, la velocidad y la presión, en función de la densidad en el presente.

En este artículo se trata el problema de la regularidad global de las soluciones en un medio acotado de dos dimensiones. Este medio consiste en una celda periódica en la variable horizontal, un techo plano y un suelo plano. Para IPM está demostrado que existen soluciones regulares localmente en tiempo, es decir, si la densidad inicial es suave, entonces existe una solución suave durante un tiempo finito. Pero se sabe poco acerca de la existencia global de soluciones, es decir, se desconoce si es cierto que para toda densidad inicial suave existe una solución suave para todo tiempo o si, por el contrario, existe una densidad inicial suave tal que, la solución deja de ser suave en un tiempo finito. Sí está probado, por ejemplo, que hay soluciones estacionarias, que vienen dadas por densidades que solo dependen de la variable vertical. Y, en el caso de considerar que el fluido yace en todo el plano, Tarek Elgindi, probó que pequeñas perturbaciones de la solución estacionaria, que toma la forma d(y)=y, dan lugar a soluciones globales, que convergen en tiempo a la solución estacionaria.

El resultado de Ángel Castro, Diego Córdoba y Daniel Lear demuestra la existencia global de soluciones para pequeñas perturbaciones de d(y)=y en un dominio acotado. Con este fin, construyen unos espacios adaptados al medio e invariantes por el flujo de la velocidad, que recogen las condiciones de frontera que debe satisfacer la densidad inicial para dar lugar a soluciones globales. La prueba está basada en un método de Galerkin, estimaciones de energía en los espacios anteriores y en la fórmula de Duchamel, que permite a los investigadores sacar partido de una disipación escondida en la parte lineal de la ecuación.