Título: “The distribution of Galois orbits of points of small height in toric varieties”
Autores: José IgnacioBurgos Gil (ICMAT-CSIC), Patrice Philippon (Institut de Mathematiques de Jussieu – U.M.R. 7586 du CNRS), Juan RiveraLetelier (University of Rochester) y Martín Sombra (ICREA, UB)
Fuente: American Journal of Mathematics 141 (2019), 309381
Fecha de publicación: 2019
Link: https://muse.jhu.edu/article/718875/pdf
Los resultados de equidistribución son una herramienta importante en muchas ramas de las matemáticas. Por ejemplo, la propiedad de equidistribución de las órbitas por la acción del grupo de Galois de los puntos de altura pequeña en variedades abelianas sobre cuerpos de números –estudiada por L. Szpiro, E. Ullmo y S. Zhang–, fue clave en la demostración de la conjetura de Bogomolov. Esta propiedad de equidistribución se ha generalizado de diversas maneras. En particular, se ha extendido a variedades más generales y varias funciones altura y, con la introducción de los espacios de Berkovich, a espacios no arquimedianos. Hasta la publicación del artículo reseñado, todas estas generalizaciones estaban restringidas a funciones altura que satisfacían una propiedad concreta: que el mínimo esencial de las alturas de puntos es igual a la altura normalizada en la variedad ambiente. Muchas funciones altura satisfacen esta condición, como las alturas de Néron-Tate en variedades abelianas, las métricas canónicas en variedades tóricas y, en general, todas aquellas provinientes de sistemas dinámicos algebraicos. Pero también hay muchas alturas interesantes que no cumplen esa propiedad, como las alturas de Fubini-Study en espacios proyectivos y las alturas de Faltings en variedades modulares.
Las variedades tóricas forman una familia de variedades con interesantes propiedades. Por ejemplo, tienen una descripción combinatoria que permite explicitar muchas propiedades. El artículo reseñado contiene un estudio completo de la propiedad de equidistribución de las órbitas por la acción del grupo de Galois de los puntos de pequeña altura con respecto a funciones altura tóricas y la propiedad de Bogomolov asociada. Los autores muestran que una cierta hipótesis de positividad es suficiente para garantizar la propiedad de equidistribución. Esto ofrece una gran cantidad de funciones altura para las que se cumple la propiedad de equidistribución que no estaban cubiertas por los resultados conocidos previamente. Además, los investigadores obtienen una clasificación completa de aquellas alturas tóricas para las que se cumple la equidistribución, y la usan para demostrar que la propiedad de equidistribución implica la propiedad de Bogomolov en el contexto tórico. Como resultado adicional, dan una caracterización de las alturas tóricas para las que se alcanza el mínimo esencial. También ofrecen ejemplos de funciones altura tóricas que no verifican la propiedad de Bogomolov y para las cuales la propiedad de equidistribución falla de diversas formas.
