Título: “Smooth approximations without critical points of continuous mappings between Banach spaces, and diffeomorphic extractions of sets”
Autores: Daniel Azagra (UCM), Tadeusz Dobrowolski (Pittsburgh State University) y Miguel García Bravo (UAM-ICMAT)
Fuente: Advances in Mathematics 354 (2019), 106756
Fecha de publicación: 1 de Octubre de 2019
Link: https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106756
El Teorema de MorseSard establece que si f : n→ mes suficientemente regular –esto significa que f es de clase Ck, con k ≥ max{1, n − m + 1}– entonces su conjunto de valores críticos es de medida cero. Un buen análogo del teorema de Morse-Sard no se da en dimensión infinita. De hecho hay funciones de clase C∞f : l2→ cuyo conjunto de valores críticos contiene intervalos. Sin embargo, en dimensión infinita uno puede aún obtener el siguiente resultado aproximado de tipo Morse-Sard, que generaliza muchos de los resultados previos que se encuentran en la literatura en este contexto:
Sean E, F espacios de Hilbert separables, y asumamos que E tiene dimensión infinita. Entonces, para cada aplicación continua f : E → F y cada función continua ε : E→ (0, ∞) existe una aplicación C∞g : E → F tal que ∥f(x) − g(x)∥≤ ε(x) y Dg(x) : E → Fes un operador lineal y sobreyectivo para todo x ∈ E.
En este artículo Daniel Azagra, Tadeusz Dobrowolski, Miguel García Bravo prueban este resultado y también incluyen una versión de él, donde E se puede reemplazar porun espacio de Banach de una gran clase –incluyendo a todos los espacios clásicos con normas diferenciables, como c0, lp o Lp, 1 <p< ∞–, y F puede ser cualquier espacio de Banach tal que existan operadores lineales continuos y sobreyectivos de E sobre F. En particular, para tales E,F, toda aplicación continua f : E → F puede ser uniformemente aproximada por aplicaciones diferenciables y abiertas.
Parte de la prueba requiere de resultados de interés independiente que mejoran algunos teoremas conocidos sobre extracción difeomorfa de conjuntos cerrados de espacios de Banach infinitodimensionales o variedades de Hilbert. Más precisamente, se puede probar que si X es un subconjunto cerrado de E que está localmente contenido en el grafo de una función continua definida en un subespacio de codimensión infinita en E y tomando valores en su complementario lineal, U es un subconjunto abierto de E, y G es un recubrimiento abierto de E, entonces existe un difeomorfismo de clase C∞h de E \ X sobre E \ (X \ U ) que es la identidad en (E \ U ) \ X y está limitado por G (esto es, que para todo x ∈ E \ X podemos encontrar un Gx ∈ G tal que x y h(x)están en Gx). Esta propiedad asegura que h se puede tomar tan cercana a la identidad como queramos.
