Autores: Adrián Manuel González-Pérez, Marius Junge and Javier Parcet (ICMAT-CSIC)
Fuente: Memoirs of the American Mathematical Society vol. 272 no. 1334
Fecha de publicación: Julio de 2021
Resumen:
En el trabajo presentado aquí, el núcleo de la teoría integral singular y el cálculo pseudodiferencial se establecen en el modelo de álgebras para geometría no conmutativa: formas cuánticas de toros y espacios euclidianos. Estas últimas –también conocidas como deformaciones de Moyal en física teórica o álgebras CCR en probabilidad cuántica– incluyen el álgebra de Heisenberg-Weyl determinada por la posición y el momento en la mecánica cuántica. Estos resultados sobre operadores pseudo-diferenciales van más allá del trabajo de Connes, gracias a una nueva forma de la teoría de Calderón-Zygmund en estas álgebras, que los autores desarrollan en el mismo trabajo y que incluye de forma crucial núcleos generales que no son de tipo convolutivo. Esto les permite deducir estimaciones de límites y p-Sobolev para símbolos regulares, exóticos y prohibidos en los rangos esperados. En L2 también generalizan los teoremas de Bourdaud y Calderón-Vaillancourt para símbolos exóticos y prohibidos. Todo lo anterior establece las formas cuánticas de los resultados más famosos de la teoría del operador pseudodiferencial. Como aplicación de nuestros métodos, los investigadores prueban la regularidad Lp de las soluciones de las primeras PDE elípticas en álgebras de von Neumann.
Finalmente, cabe señalar que la teoría no conmutativa de Calderón-Zygmund tiene precedentes en la obra de los autores con interesantes conexiones en la teoría geométrica de grupos y funciones operadoras de Lipschitz. Sin embargo, a diferencia de los resultados anteriores, este es el primer modelo que funciona en álgebras puramente no conmutativas; es decir, álgebras que no contienen copias de duplicación de espacios métricos en forma de productos tensoriales o productos cruzados. Recientemente, algunos de los autores han desarrollado una forma algebraica de la teoría de Calderón-Zygmund que es válida en álgebras generales de von Neumann equipadas con un proceso de Markov que satisface condiciones estrictamente algebraicas.
