Título: “Average decay for the Fourier transform of measures with applications”
Autores: Renato Lucà (Universität Basel, Suiza), Keith M. Rogers (ICMAT-CSIC)
Fuente: J. Eur. Math. Soc. 21 (2019), 465506
Fecha de publicación: 2019
Link: https://www.ems-ph.org/journals/show_abstract.php?issn=1435-9855&vol=21&iss=2&rank=6&p403=1
Se sabe que la solución a la ecuación de Schrödinger converge a su dato inicial en L2(n) cuando el tiempo tiende a cero. Lennart Carleson planteó cómo de regulares deben ser los datos para garantizar que la convergencia se mantenga en casi todos los puntos a la vez. Considerando los espacios de Sobolev, con s derivadas del dato también en L2(n), el problema se traduce en identificar los exponentes s ≥ 0 para los cuales la convergencia puntual se mantiene para todos los datos en ese espacio. En el caso unidimensional (n = 1), Carleson demostró que es así cuando s ≥ 1/4 y Björn Dahlberg y Carlos Kenig probaron que puede haber divergencia si s < 1/4; es decir, que s ≥ 1/4 es una condición necesaria y suficiente cuando n = 1.
Desde entonces, se creía que la condición necesaria de Dahlberg y Kenig debería ser suficiente en todas las dimensiones, hasta que Jean Bourgain demostró que s ha de cumplir cierta condición.
Dos problemas principales sobre los números L2 de Betti son la conjetura fuerte de Atiyah y laconjetura de aproximación de Lück. La conjetura fuerte de Atiyah afirma que si el mínimo comúnmúltiplo lcm(G) de los órdenes de los subgrupos finitos de G es finito, entonces rkG(A) ∈. Por ejemplo, en el caso cuando G no tiene torsión, la conjetura afirma que todos los números rkG(A) son enteros. Esta afirmación es una forma fuerte de la conjetura de que se dé la convergencia puntual. Esta última condición es más estricta que la de Dahlberg y Kenig en dimensiones cinco o superior.
En este artículo de Renato Lucà y Keith Rogers se mejora el resultado de Bourgain, mostrando que s ≥ es una condición necesaria. Su prueba combina patrones de interferencia (similares a los que aparecen en el experimento de doble rendija de Young) con la teoría ergódica, que emplean para demostrar que la interferencia constructiva puede aparecer en un conjunto no nulo. En la segunda parte del artículo se considera la velocidad de decaimiento de la transformada de Fourier de medidas fractales. Se sabe que, aunque no tiene que haber decaimiento en cada dirección, la media sobre todas las direcciones sí debe tener algo. Pertti Mattila planteó el problema de identificarβn(α), la máxima velocidad de decaimiento que es válida para todas las medidas αdimensionales. Él mismo demostró que βn(α) = α si α < y Per Sjölin6 demostró que βn(α) = n – 1 si α = n. Después, Bourgain hizo una conexión con estimaciones restringidas que ayudó a Thomas Wolff8 identificar el valor preciso de β2(α) en el rango restante, así resolviendo el problema con n = 2.
En dimensiones tres y superiores, la cuestión de Mattila sigue sin respuesta definitiva, no obstante, Lucà y Rogers mejoran las cotas de βn(α). Para su cota superior, que limita la velocidad de decaimiento, construyen una medida con propiedades similares a sus datos de Schrödinger para la cuestión de Carleson. Para su cota inferior, que muestra que la media del decaimiento nunca puede ser demasiado lento, aprovechan las estimaciones restringidas multilineales obtenidas por Jonathan Bennett, Anthony Carbery y Terence Tao. Finalmente, dan una aplicación de su cota inferior de βn(α) para refinar la cuestión de Carleson, mostrando que la convergencia puntual solo puede fallar en un conjunto de pequeña dimensión fractal.
