Fuente: Geometric and Functional Analysis vol. 31, pages 181–205
Fecha de publicación: 15 de mayo de 2021
Resumen:
El producto tensorial de conos aparece naturalmente cuando se estudian aplicaciones lineales entre conos (es decir, operadores positivos). Dados dos conos C1 y C2, se pueden definir dos conos naturales: el mínimo C1¤C2:= Conv{x1Äx2: x1ÎC1, x2ÎC2} y el máximo C1✪C2 := (C1*¤C2*)*, donde aquí C* denota el cono dual de C.
En este artículo los autores estudian la siguiente pregunta fundamental: ¿para qué pares de conos (C1, C2) tenemos que C1¤C2 = C1✪C2? Esta pregunta se remonta al trabajo de Barker y Namioka-Phelps en la década de 1970. El resultado principal proporciona una caracterización simple de aquellos conos para los que se cumple la igualdad anterior, que fue conjeturada por Barker hace 40 años.
Para expresar este resultado principal en términos precisos, necesitamos introducir alguna notación: dado un espacio lineal real V de dimensión d, decimos que C Ì V es un cono propio, si C es un cono convexo cerrado tal que C-C= V y CÇ (-C)={0}. Motivados por una interpretación física de este problema, decimos que C es clásico si es generado por un conjunto linealmente independiente (o, de manera equivalente, si es linealmente isomorfo a R d+). Es fácil ver que, si C1 o C2 son clásicos, entonces C1¤C2 = C1✪C2, y Barker conjeturó que la implicación inversa también debería ser cierta. El resultado principal del artículo prueba esa conjetura: dados dos conos propios C1 y C2, entonces C1¤C2 = C1✪C2 si y solo si uno de los conos es clásico.
