Título: “Approximation theorems for parabolic equations and movement of local hot spots”
Autores: Alberto Enciso (ICMATCSIC), María Ángeles García-Ferrero (Universidad de Heidelberg) y Daniel Peralta-Salas (ICMATCSIC)
Fuente: Duke Math. J. 168 (2019), 897939
Fecha de publicación: 2019
Link: https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1551495707
La teoría de aproximación global para ecuaciones en derivadas parciales (EDP) lineales fue desarrollada por William Browder, Peter Lax y Bernard Malgrange en el periodo 19501965 como una generalización del teorema de Carl Runge que aparece en análisis complejo. Esencialmente, esta teoría asegura que, dada una solución a la EDP definida en un conjunto cerrado K, existe una solución global de la ecuación que la aproxima, asumiendo que el conjunto K satisface cierta condición topológica. Para ecuaciones parábolicas, esta teoría sólo existía para la ecuación del calor en el espacio euclídeo y para conjuntos Kcompactos. En este artículo se desarrolla esta teoría con la misma generalidad que en el caso elíptico: ecuaciones parabólicas con coeficientes Hölder continuous y conjuntos K no necesariamente compactos.
En el caso de la ecuación del calor en el espacio euclídeo, se demuestra que la solución global está dada por un dato de Cauchy suave de soporte compacto. Las demostraciones son bastante complicadas técnicamente y emplean la solución fundamental de la ecuación y diversas herramientas de análisis funcional y análisis armónico.
Una de las aplicaciones más llamativas de la teoría desarrollada en este trabajo es al análisis de los llamados “puntos calientes” de las soluciones a la ecuación del calor, que es un tema que ha atraído una enorme atención en los últimos años. Se demuestra que existen soluciones globales de la ecuación que presentan puntos calientes locales que evolucionan a lo largo de cualquier curva prescrita, salvo por un error arbitrariamente pequeño. Como corolario, se demuestra que existen soluciones con puntos calientes locales que llenan todo el espacio de forma densa.
Otra aplicación destacada es en el contexto de superficies isotermas, es decir, superficies donde la temperatura es constante. Se demuestra que existen soluciones con superficies isotermas que cambian su topología de cualquier manera imaginable.
