Título: “Geometric criteria for overtwistedness”
Autores: Roger Casals, Emmy Murphy y Francisco Presas (ICMATCSIC)
Fuente: Journal of The American Mathematical Society 32 (2019), 563604
Fecha de publicación: 3 de enero de 2019
Link: https://www.ams.org/journals/jams/2019-32-02/S0894-0347-2019-00917-3/home.html
La historia de la topología simpléctica y de contacto es una historia de guerra. Una guerra en la que tienes que cambiar continuamente de frente porque la verdad es escurridiza. Es un modelo casi perfecto del eterno conflicto entre la geometría y la topología. Por un lado, los partidarios de la geometría defienden que el mundo de contacto sigue las reglas de la geometría: un mundo rígido en el que los diferentes objetos son completamente estáticos y los diversos animales de contacto no pueden clasificarse de forma ruda, apelando a invariantes meramente topológicos. Según su enfoque, es necesario definir sutiles invariantes geométricos que producirán ejemplos sutiles de muchos animales distintos viviendo en la misma celda topológica. Más aún, el modelo de geometría que trata de imitar es el de la geometría compleja proyectiva: el ideal de un geómetra.
En el bando opuesto está el ejército topológico, que defiende claramente que no hay geometría. Las celdas topológicas contienen sin más un animal por jaula. No hay sorpresas: lo que la topología diferencial define como condición necesaria para la existencia/clasificación de un objeto de contacto es también condición suficiente. El mundo ideal al que se aspira es el mundo de la topología diferencial.
Como en toda guerra disputada, ha habido diferentes alternativas. Los años 60 y 70 del siglo pasado fueron la edad de oro del enfoque topológico (usualmente llamado lado flexible). En esa época, fue posible probar que la existencia y clasificación de estructuras de contacto para variedades abiertas era un problema meramente topológico. Pero, de repente, Daniel Benequin y Mikhael Gromov (respectivamente en el caso de contacto y simpléctico) fueron capaces de probar que había rigidez.
Los años 90 y la primera década del siglo XXI fueron testigos del crecimiento exponencial del lado rígido de la topología de contacto. Sin embargo, en 1989 se descubrió que había una excepción, Yakov Elaishberg fue capaz de probar que había una subclase de estructuras de contacto en dimensión 3 cuya existencia y clasificación seguía las reglas de la topología. Esta clase flexible se llamó estructuras de contacto overtwisted. Así, la explosión posterior de la topología de contacto tiene su base en el intento de clasificación de las estructuras no overtwisted (llamadas ceñidas). Más aún, el bando partidario de la rigidez intentó aislar el caso overtwisted y mostrar que era la excepción que confirmaba la regla: solo en dimensión 3 la topología jugaba un papel relevante.
Hubo, sin embargo, quien trató de encontrar el Santo Grial: la clase overtwisted en dimensión arbitraria. Hubo diversos intentos, como la definición de Emmanuel Giroux en términos de descomposiciones en libro abierto estabilizadas negativamente; el plastikstufe de Klaus Nierderkruger, basado en la generalización de la propiedad más destacable de las overtwisted en dimensión tres; los teoremas de Presas-Nierderkruger tipo “el tamaño sí importa”, que apuntaban hacia una definición que tenía que ver con el tamaño del entorno normal de ciertas subvariedades de contacto; el uso de la versión relativa que se llegó a comprender antes que la absoluta: la flexibilidad de los nudos legendrianos sueltos, que lleva de modo natural a la elegante conjetura que define que una variedad es overtwisted si y solo si su nudo trivial legendriano standard es suelto, etc.
Entonces, empezó la revolución: apareció el primer resultado general de existencia de estructuras de contacto en dimensión 5. Su mérito fue indicar que probablemente había flexibilidad en todas las dimensiones. Inmediatamente, apareció el resultado de existencia y clasificación general. Este artículo clave proporcionó la definición general de la clase overtwisted. Sin embargo, la definición era una increíblemente técnica inecuación en derivadas parciales con la que era muy difícil trabajar. Por otro lado, estaba esa larga lista de intentos de definición que eran muy elegantes y mucho más sencillos de comprobar en la práctica.
El artículo “Geometric Criteria for overtwistedness” establece que todas las definiciones previas de clase overtwisted son equivalentes a la final. Todo el mundo vio, así, que sus años de esfuerzo habían sido recompensados, ya que todas las definiciones eran correctas. Sin embargo, el objetivo del artículo no era solo este, sino también usar las ventajas de las definiciones alternativas para probar numerosos resultados de flexibilidad en geometría de contacto. En los últimos años, otros artículos se han servido de este para ampliar el frente flexible en topología de contacto. Después de un buen número de derrotas, el ejército flexible está recuperando el control.
