Vértices gravitacionales con curvatura positiva

Autores: Mario Garcia-Fernandez (ICMAT-UAM), Vamsi Pritham Pingali and Chengjian Yao

Fuente: Advances in Mathematics vol. 388

Fecha de publicación: 17 de septiembre de 2021

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Resumen:

Una combinación de ideas de la cosmología y de la física de partículas sugiere la existencia de transiciones de fase que rompen la simetría en el universo muy primitivo, a medida que éste se expandía y se enfriaba. Al igual que las transiciones en la materia condensada, estas transiciones de fase podrían haber conducido a la formación de cuerdas cósmicas, filamentos extremadamente estrechos de material primordial que quedaron de los primeros momentos del universo. La estructura matemática básica de una cuerda cósmica viene dada por un ejemplo especial de las ecuaciones de campo de Einstein, conocidas como ecuaciones autoduales de Einstein-Maxwell-Higgs, que acoplan la gravedad con un campo electromagnético y un campo de Higgs. Las soluciones de estas ecuaciones traspasan un límite de energía –a menudo llamado límite de Bogomol’nyi– y normalmente tienen un comportamiento similar al de los solitones en la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas. Geométricamente, las cuerdas están ubicadas en los ceros del campo de Higgs –un escalar complejo– y cortan transversalmente una superficie que está incrustada en una hipersuperficie similar al espacio en el espacio-tiempo.

La idea básica de este artículo es que el campo de Higgs determina un divisor efectivo sobre una superficie de Riemann que debe satisfacer una condición de equilibrio, con orígenes en la teoría geométrica invariante (GIT), tal como lo introdujo D. Mumford en la década de 1960, para construir cocientes mediante acciones grupales en geometría algebraica. Esto ha llevado en los últimos años al descubrimiento de nuevas obstrucciones a la existencia de soluciones de cuerdas cósmicas y también a una generalización natural de la teoría para un sistema más general de ecuaciones en derivadas parciales conocido como ecuaciones de vórtices gravitacionales.

Sobre la base de estos trabajos, M. Garcia-Fernandez (ICMAT-UAM), V. Pingali (IISc, Bangalore) y C. Yao (Shanghai Tech) dan una solución completa al problema de existencia para vórtices gravitacionales con constante topológica no negativa c⩾0 en una superficie compacta. Su primer resultado principal se basa en resultados previos de Yang y establece la existencia de soluciones a las ecuaciones autodual de Einstein-Maxwell-Higgs, correspondientes a c = 0, para todos los volúmenes admisibles (clases de Kähler). Su segundo resultado principal resuelve completamente el problema de existencia para c>0. Ambos resultados se prueban por el método de continuidad y requieren que se satisfaga una condición de estabilidad GIT, para un divisor efectivo en la esfera de Riemann. Para el primero, el camino de continuidad parte de una solución dada con c=0 y deforma el volumen total de la solución. Para el último resultado, los autores parten de la solución establecida en cualquier volumen fijo admisible y deforman la constante gravitatoria α hacia 0. Una característica destacada de su argumento es un nuevo límite S ⩾ c para la curvatura de Gauss de los vórtices gravitacionales, que se aplica para construir una solución límite, a lo largo del camino, a través de la teoría de Cheeger-Gromov.