Título: “SO(p, q)Higgs bundles and higher Teichmüller components”
Autores: Marta Aparicio-Arroyo, Steven Bradlow, Brian Collier, Oscar García-Prada, Peter B. Gothen, André Oliveira
Fuente: Inventiones Mathematicae 218 (2019), 197299
Fecha de publicación: 2019
Link: https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-019-00885-2
Dada una superficie lisa y compacta S de género g≥ 2, el espacio de Teichmüller de S parametriza estructuras complejas en S, salvo difeomorfismos de S isotópicos a la identidad. El espacio de moduli de Riemann de curvas algebraicas complejas proyectivas de género g se obtiene como cociente del espacio de Teichmüller el grupo modular de S. El espacio de Teichmüller se puede identificar con una componente topológica de la variedad de caracteres del grupo fundamental de S en PSL(2,R), consistente en representaciones fuchsianas. Esta correspondencia viene dada por la holonomía de la métrica hiperbólica asociada a una estructura compleja, mediante el teorema de uniformización, definiendo un grupo fuchsiano. El espacio de Teichmüller juega un papel muy importante en muchas áreas de las matemáticas, incluidos el análisis complejo, la topología en baja dimensión, la geometría algebraica, la geometría hiperbólica, la teoría de grupos geométricos, los sistemas dinámicos, etc.
En 1992, Nigel Hitchin, utilizando la teoría de fibrados de Higgs que había introducido unos años antes, identificó un componente de la variedad de caracteres del grupo fundamental de S en PSL(n,R) —y, de forma más general, en una forma real split de cualquier grupo de Lie complejo semisimple— que compartía muchas propiedades con el espacio de Teichmüller. Esta componente, conocida como componente de Hitchin, contiene el espacio habitual de Teichmüller y, como el espacio de Teichmüller, consiste íntegramente en representaciones discretas y fieles del grupo fundamental. Esto fue demostrado por François Labourie en 2006, tras introducir el concepto de representación de Anosov.
A partir del año 2000, se empezaron a estudiar las variedades de caracteres del grupo fundamental para los grupos hermitianos no compactos. Un grupo hermitiano es el grupo de isometrías de un espacio simétrico kähleriano. El grupo PSL(2,R) es split y hermitiano. De nuevo, las nuevas componentes —consistentes íntegramente en representaciones discretas y fieles— se encontraron gracias a la teoría de fibrados de Higgs y fueron descritas en varios artículos involucrando a Olivier Biquard, Steven Bradlow, Oscar GarcíaPrada, Peter Gothen, Ignasi Mundet y Roberto Rubio. Tambien fueron estudiadas utilando cohomología acotada por Marc Burger, Alessandra Iozzi y Anna Wienhard. Estas componentes, junto con las componentes de Hitchin, se denominaron componentes superiores de Teichmüller. Como el espacio de Teichmüller, todas ellas tienen la propiedad de que el grupo modular de S actúa libremente.
Durante mucho tiempo, se creyó que los grupos split y hermitianos eran los únicos tipos de grupos para los cuales existían componentes superiores de Teichmüller. El artículo reseñado prueba la existencia de este tipo de componentes también para la familia de grupos SO(p,q), incluso cuando no son split o hermitianos. Aunque, de partida, esto no se esperaba, tampoco fue una gran sorpresa. Pocos años antes, en su tesis doctoral de 2009, Marta Aparicio habia estudiado los fibrados de Higgs para el grupo SO(p,q) utilizando los métodos de la teoria de Morse, introducidos por Hitchin para contar componentes. La expectativa original era que las componentes fueran parametrizadas por los invariantes topológicos obvios, pero resultó que había más mínimos de la función Morse de Hitchin de lo esperado, dejando la posibilidad de la existencia de componentes no contabilizadas por los invariantes topológicos usuales —una característica común de los espacios superiores de Teichmüller—.Otra evidencia provino de un trabajo de 2018 de Olivier Guichard y Anna Wienhard, en el que introducen una noción de estructura positiva en ciertos grupos de Lie reales, lo que lleva a una noción de positividad para una representación del grupo fundamental. Clasifican los grupos que admiten estructuras positivas, y demuestran que, además de los grupos split y hermitianos, la familia SO(p,q) también forma parte de esta clasificación. Estos investigadores conjeturaron que solo los grupos con estructura positiva admiten componentes de Teichmüller superiores, consistentes enteramente en representaciones positivas. El artículo reseñado, en el que también hay un recuento de todas las componentes topológicas de la variedad de caracteres, apoya firmemente esta conjetura y ha allanado el camino para un enfoque general de la teoría de fibrados de Higgs para la caracterización de las componentes superiores de Teichmüller.
