Autores: David Alfaya and Tomás L. Gómez (ICMAT-CSIC)
Fuente: Advances in Mathematics vol. 393
Fecha de publicación: 24 de diciembre de 2021
Resumen:
Sea X una superficie proyectiva suave compleja –o, equivalentemente, una superficie compacta de Riemann–, y sea D un conjunto finito de puntos de X. Un haz parabólico es un haz vectorial E sobre X junto con una filtración ponderada de la fibra de E sobre cada punto x en D. Por filtración ponderada entendemos una filtración por subespacios, en la que cada subespacio tiene asociado cierto número real llamado peso. Los haces parabólicos fueron introducidos por Seshadri (1977), y están relacionados con representaciones del grupo fundamental de la superficie de Riemann perforada con holonomía fija alrededor de los puntos en D. Asociamos al par (X,D) un espacio de moduli de haces vectoriales parabólicos de rango fijo r.
El presente artículo estudia ciertos aspectos geométricos de este espacio de moduli. Los autores, primero, demuestran un teorema de tipo Torelli para este espacio de moduli. Esto significa que, si M y M’ son los espacios de moduli asociados a (X, D) y (X’, D’), y si M y M’ son isomorfos, entonces existe un isomorfismo entre X y X’ que envía D a D’. En otras palabras, podemos recuperar la curva X y los puntos D de la clase de isomorfismo del espacio de módulos como una variedad algebraica.
Esto fue demostrado por Del Baño, Balaji y Biswas (2001) para rango 2, grado 1 y pesos parabólicos pequeños, pero aquí se prueba en general.
Luego, los autores calculan el grupo de automorfismos del espacio de moduli M. El caso en el que no existe una estructura parabólica fue resuelto por Kouvidakis y Pantev en 1995. En la situación considerada, la estructura parabólica produce nuevos mapas –definidos usando transformadas de Hecke–. Estos mapas pueden tener singularidades, por lo que en lugar de morfismos definen mapas racionales de dimensión 3 –es decir, un mapa que no se define en un subconjunto de codimensión de al menos 3–. Esto se debe a que la transformada de Hecke podría no conservar la condición de estabilidad –que depende de los pesos parabólicos– y es un fenómeno que también ocurre para otros tipos de transformaciones de haces parabólicos. Motivados por esto, los investigadores también calculan el grupo de transformaciones 3-biracionales.
