Título: “On higher dimensional singularities for the fractional Yamabe problem: a nonlocal MazzeoPacard program”
Autores: Weiwei Ao, Hardy Chan, Azahara de la Torre, Marco Antonio Fontelos, Mar González and Juncheng Wei
Fuente: Duke Math. J. 168, Number 17 (2019), 32973411
Fecha de publicación: 2019
Link: https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1572422464
El artículo reseñado se enmarca en la frontera entre la geometría diferencial y el análisis de ecuaciones en derivadas parciales. En sus 115 páginas se estudia la construcción de variedades singulares de dimensión n con curvatura fraccionaria (o no local) constante. Este es un problema proveniente del análisis geométrico, ya que un método habitual en la clasificación geométrica de variedades es intentar buscar una variedad equivalente a la que se quiere clasificar, con algún tipo de curvatura constante.
Las curvaturas no locales se definen a partir del laplaciano fraccionario en la variedad, que es un operador no local. Desde el punto de vista del análisis, se define como un operador integrodiferencial, es decir, no solo ve lo que pasa en su entorno inmediato, sino que también tiene en cuenta interacciones con puntos lejanos. Desde el punto de vista de la geometría se define una familia uniparamétrica de curvaturas con buenas propiedades conformes (es decir, que preservan los ángulos) y que generaliza las usuales nociones de curvatura escalar, media, y la asociada al operador de Paneitz. A su vez, cada una de ellas proporciona diferente información geométrica y topológica de la variedad que ayudan a su clasificación. Esta noción de curvatura proviene del estudio de la teoría de scattering en las variedades Einstein, que se basó originalmente en el trabajo de John von Neumann, Roger Penrose y Claude R. Le Brunn en física gravitacional en cuatro dimensiones, en conexión con la correspondencia Ads/CFT de Juan Martín Maldacena.
Como comentábamos al inicio, en el artículo publicado en el Duke Journal se buscan variedades de curvatura constante con singularidades. Para esta construcción, se usa el método clásico de “pegado”, es decir, se construye un buen modelo de singularidad que se pega a la variedad original. En el caso local, considerado en el clásico artículo de Mazzeo Pacard, la región de pegado se controla fácilmente. Sin embargo, esta es la primera gran dificultad en el caso no local, ya que el proceso de pegado afecta a la variedad completa y podría desbaratar la geometría que buscamos. El segundo gran obstáculo es la construcción del modelo básico de singularidad. Se comienza buscando soluciones radiales que tienen una singularidad exactamente en el origen. Y aquí nos enfrentamos precisamente a la resolución de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) no local. Mientras que las EDO usuales se pueden resolver mediante el estudio de su plano de fases, en el caso no local esto no es posible, ya que la trayectoria en un punto depende de lo que sucede muy lejos. No existen teoremas de existencia, unicidad o dependencia continua de las condiciones iniciales para este tipo de ecuaciones, es un campo completamente virgen.
En el resultado obtenido, se desarrolla la teoría general para cierto tipo de estas ecuaciones, incluyendo el Teorema de Frobenius, que caracteriza el desarrollo asintótico de la solución cerca de los puntos singulares; el estudio de una cantidad con propiedades similares al wronskiano de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea; o a construcción de una función de Green para la reconstrucción de una solución particular a la ecuación nohomogénea.
La idea innovadora en la demostración es la caracterización de una EDO no local como un sistema infinitodimensional de ecuaciones de segundo orden acopladas. Como consecuencia, si se consigue controlar este acoplamiento, es posible utilizar la teoría clásica de EDO para un problema no local.
