Soluciones de mezcla para el problema de Muskat

Autores: Ángel Castro (ICMAT-CSIC); Diego Córdoba (ICMAT-CSIC) and Daniel Faraco (ICMAT-UAM)

Fuente: Inventiones Mathematicae vol. 226, pages 251–348

Fecha de publicación: 5 de Mayo de 2021

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Resumen:

En mecánica de fluidos, habitualmente nos interesa describir la evolución del transporte de un fluido, cuando el fluido y su velocidad están acoplados. En la mayoría de los textos clásicos de física y matemáticas, se calcula el problema “linealizado”, alrededor de alguna solución estacionaria y se establece si el problema es estable o inestable, dependiendo del signo de cierto valor. En el caso linealmente estable, se trata de entender si la ecuación no lineal está bien planteada y, en el mejor de los casos, si hay una solución global en el tiempo. En la situación inestable, las herramientas clásicas de análisis y de las ecuaciones en derivadas parciales (PDE, por sus siglas en inglés) fallan y solo es posible encontrar soluciones explícitas en situaciones particulares, realizar experimentos o ejecutar simulaciones.

En este trabajo, los autores presentan un método robusto para construir soluciones débiles a problemas inestables. Para ello combinan el llamado método de integración convexa, propuesto por de De Lellis y Székelyhidi, con la evolución de la dinámica de contorno.

El artículo está dedicado al problema de Muskat, que estudia la evolución de dos fluidos a través de un medio poroso –como una mezcla de petróleo y agua que se desplaza a través de cavidades rocosas–, donde los efectos de la porosidad y de la gravedad están representados por la conocida ley de Darcy. En experimentos en los que se reproduce este fenómeno, que se remontan a Saffman, Taylor y F. Otto, se observó la presencia de una zona llamada de mezcla, en la que los dos fluidos se mezclan estocásticamente.

El método propuesto en este nuevo artículo describe esta zona de mezcla como la envolvente de una curva, cuya evolución está dictada por un promedio del operador de Muskat. El doble promedio regulariza el operador a lo largo de un cierto periodo de tiempo pero explota –es decir, incrementa su valor tremendamente de forma inmediata, es decir, tiene una singularidad– cuando el tiempo llega a cero. Para sortear esa dificultad, los autores crean un cálculo semiclásico para operadores no suaves que entienden el tiempo como un pequeño parámetro, que desempeña el papel de la constante de Planck.

En las simulaciones se observan soluciones puntuales en cada muestra, un fenómeno que los físicos han bautizado como estocasticidad espontánea o efecto mariposa fuerte. Sin embargo, se espera que las cantidades observables se comporten de forma clásica. Por lo tanto, los modelos deterministas son consistentes con los estocásticos.

El método descrito en el documento no solo produce la riqueza esperada de soluciones débiles no únicas, sino que también predice la evolución de cantidades macroscópicas como el tamaño y la forma de la zona de mezcla. La elaboración de estas ideas se ha utilizado para tratar problemas de tipo hoja de vórtice o situaciones parcialmente inestables.