Título original: “On the polynomial Wolff axioms”
Autores: Nets H. Katz (California Institute of Technology) y Keith M. Rogers (ICMAT)
Fuente: Geometric and Functional Analysis, 28 (6), pp 1706-1716
Fecha de publicación online: 14 de septiembre de 2018
Link: https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-018-0466-7
El análisis de Fourier describe el proceso de descomponer una señal en sus frecuencias para después recomponer la señal a partir de éstas. Es una herramienta extremadamente útil en matemáticas, física y tecnología. Por ejemplo, para almacenar y enviar archivos de sonido de manera más eficiente. El oído humano no es capaz de escuchar frecuencias muy altas o muy bajas, por lo que estas pueden desecharse antes de almacenar la transformada de Fourier de una señal, y así ahorrar memoria. Para reproducir de nuevo el sonido, se recompone la señal sumando los términos de la serie.
Desafortunadamente el proceso no es infalible, y no siempre es cierto que al sumar las frecuencias de nuevo la señal resultante suene igual que la original. Que las series de Fourier, en el espacio R^n con n ≥ 2, converjan a la señal original o no, está relacionado con si ciertos tubos con posiciones arbitrarias, pero con direcciones separadas, pueden solaparse mucho o no. Esto se debe a que la señal se puede descomponer todavía más en paquetes de ondas que esencialmente residen en estos tubos. Aunque puede haber cancelación cuando se suman estos paquetes de ondas, el principal problema, ignorando la oscilación, es el del solapamiento.
El grado de solapamiento es lo que precisamente cuantifica la conjetura de Kakeya. Charles Fefferman encontró en 1971 la primera conexión entre las series de Fourier y la conjetura de Kakeya, en lo que fue un trabajo seminal [6]. Esta conexión se profundizó en trabajos de Jean Bourgain [1] en 1991 y Terence Tao [13] en 1999. Sin embargo, la conjetura de Kakeya ha sido estudiada muchos años antes. El problema, como se consideró inicialmente en 1917, era determinar cómo de grande ha de ser un conjunto, para que un segmento de línea pueda girar continuamente en su interior, apuntando en todas las direcciones posibles, hasta volver a su posición de origen. Sorprendentemente, hay conjuntos que satisfacen esta propiedad con medida de Lebesgue (es decir, área o volumen) arbitrariamente pequeña. De hecho, hay conjuntos Kakeya (conjuntos que contienen un segmento de línea en todas las direcciones posibles) con medida cero.
No obstante, hay conjuntos de medida cero más pequeños que otros. Por ejemplo una línea en R^n es claramente más pequeña que un plano dado que la línea es unidimensional mientras que el plano es bidimensional. La conjetura insiste que un conjunto Kakeya debe tener dimensión n, lo que quiere decir que, aunque pueden tener medida cero, no pueden ser más pequeños que eso. La conjetura de Kakeya en R^2 fue resuelta por Antonio Córdoba [3] y Roy Davies [4] en los años setenta del siglo pasado (las versiones oscilatorias del problema fueron resueltas por Charles Fefferman [5], Lennart Carleson y Per Sjölin [2]). Para dimensiones mayores, sin embargo, la conjetura ha resistido los esfuerzos de la comunidad del análisis armónico desde entonces.
Ahora, en [11], Nets Katz y Keith Rogers han demostrado una formulación débil de la conjetura en más dimensiones, al asumir que los segmentos de línea tienen una estructura algebraica adicional. Primero se discretiza el problema, de tal forma que el ángulo entre dos segmentos de línea sea mayor que 1/x, donde x es un número grande. Si suponemos que los segmentos de línea se hallan todos en la superficie de un cono bidimensional en R^3, es fácilmente deducible que no puede haber más de un múltiplo constante de x segmentos de línea. En [11], se demostró la acotación correcta para cualquier variedad algebraica real de cualquier dimensión, lo cual confirmó una conjetura de Larry Guth [7]. Se probó además una versión generalizada que considera conjuntos semialgebraicos en lugar de variedades algebraicas, solucionando un problema propuesto por Guth y Joshua Zahl [8].
Por otra parte, en [9], Jonathan Hickman y Rogers demostraron que, si un conjunto Kakeya no tiene ninguna estructura algebraica, en ese caso la conjetura de Kakeya también es cierta. Ahora, con un delicado equilibrio entre esto último y el resultado de [11], también demuestran que los conjuntos Kakeya no pueden ser muy pequeños, incluso cuando los conjuntos tienen una carga intermedia de estructura algebraica. Para ciertas dimensiones ambientales n, el argumento mejora las acotaciones previamente conocidas (obtenidas por Katz y Tao [12] por un lado y Wolff [14] por otro) para la dimensión de un conjunto Kakeya cualquiera. En [10], también se logró progreso para una de las versiones oscilatorias del problema.
