Actividades MIP
Curso - Algunas construcciones sobre anillos conmutativos con unidad (1/3)
Ponente: Ana Bravo (ICMAT-UAM)Fecha: viernes 14 de noviembre de 2025 - 16:30-17:30Lugar: Aula Naranja, ICMAT
Resumen:
El conjunto de los enteros es un anillo con dos propiedades importantes:
(1) es un dominio de factorización única (Teorema Fundamental de la Aritmética),
(2) es un ejemplo de lo que llamamos un anillo noetheriano.
En relación a (1), usando el argumento de Euclides, sabemos que además hay infinitos primos. En álgebra conmutativa hay muchos ejemplos de dominios de factorización única (DFU). En este contexto más general se habla de factorización única como producto de irreducibles. Sin embargo, el argumento de Euclides no se puede extender a cualquier DFU y de hecho, existen ejemplos de dominios de factorización única con una cantidad finita de irreducibles.Durante las sesiones estudiaremos nociones básicas relacionadas con los dominios de factorización única y desarrollaremos herramientas para:
- construir ejemplos de dominios de integridad en los que cada elemento no trivial se puede escribir como producto de irreducibles de manera no necesariamente única;
- construir ejemplos de dominios de factorización única con exactamente n irreducibles para cada n natural mayor o igual que 1.
En relación a (2), la condición de noetherianidad está presente en la mayor parte de los resultados centrales de la geometría algebraica y del álgebra conmutativa. Por ejemplo, los anillos de polinomios con coeficientes en un cuerpo son noetherianos. Sin embargo, no es difícil encontrar subanillos no noetherianos contenidos en anillos de polinomios. Durante las sesiones trabajaremos resultados elementales sobre anillos de valoración que nos permitirán construir esos ejemplos.
Si disponemos de tiempo estableceremos una relación entre los temas tratados en (1) y en (2): describiremos los anillos de valoración para los que (1) y (2) son equivalentes, que son los conocidos como anillos de valoración discreta.
Durante las sesiones definiremos todos los términos que no se conozcan y repasaremos aquellos resultados que se hayan visto con anterioridad.
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