Entrevista con Nigel Hitchin (Universidad de Oxford), Ngô Bảu Châu (Universidad de Chicago), directores, y Oscar García–Prada (ICMAT-CSIC), coordinador de uno de los Laboratorios del ICMAT

El Laboratorio “Nigel Hitchin–Ngô Bảu Châu” es una iniciativa financiada por el programa Severo Ochoa del ICMAT, que promueve la colaboración internacional en investigación sobre diversos temas de geometría y física matemática. El programa, coordinado por Oscar García–Prada, profesor de investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) dentro del ICMAT, y dirigido por Nigel Hitchin, Emeritus Savilian Professor of Geometry de la Universidad de Oxford (Reino Unido) y Ngô Bảo Châu, Francis and Rose Yuen Distinguished Service Professor de la Universidad de Chicago (EE.UU.), aborda temas como el sistema de Hitchin, la dualidad de Langlands, la simetría de espejo, los fibrados de Higgs, las variedades de caracteres, la teoría de Teichmüller superior, la teoría gauge, los espacios de moduli y las estructuras geométricas.

El trabajo pionero de Hitchin, galardonado con numerosos premios, incluido el Premio Shaw de Matemáticas 2016, abarca desde la geometría diferencial y algebraica a la física matemática. Sus contribuciones han abierto nuevos campos de investigación y se han aplicado en diversos contextos, como la teoría de cuerdas y la supergravedad. En 1987, introdujo la fibración de Hitchin del espacio de moduli de los fibrados de Higgs. Años más tarde, este objeto desempeñó un papel crucial en la demostración de Ngô del lema fundamental de las formas automorfas, un resultado clave dentro del programa Langlands iniciado por Robert Langlands y Diana Shelstad. Este logro le valió a Ngô, experto mundial en geometría algebraica, teoría de números y teoría de representaciones geométricas, la Medalla Fields en 2010.

El primer Laboratorio Hitchin–Ngô tuvo lugar de 2021 a 2024 e incluyó diversas actividades de investigación, entre ellas un periodo temático de investigación sobre espacios de moduli y estructuras geométricas, celebrado de abril a junio de 2023. Con motivo del primero de los tres congresos organizados en este marco —«The Hitchin system, Langlands duality and mirror symmetry«, en abril de 2023— pudimos hablar con los dos directores y el coordinador del Laboratorio sobre el trabajo que están llevando a cabo.

En 2024 ha comenzado una nueva edición de este Laboratorio, que se prolongará hasta 2028 con nuevos retos de investigación y una gran variedad de actividades. Entre ellas, destacan una actividad especial durante todo el mes de junio de 2025 y nuevo periodo temático de investigación, que tendrá lugar en otoño de 2026. Este programa incluirá una conferencia para celebrar el 80 cumpleaños de Nigel Hitchin.

Ágata Timón G Longoria (ICMAT)

¿Cuál es el tema general de investigación del Laboratorio?

Nigel Hitchin: En cierto modo, tenemos puntos de vista complementarios sobre el mismo objeto: el sistema de Hitchin. Se trata de un objeto geométrico fundamental, que aparece en nuestros trabajos anteriores. En mi caso, en mi estudio de la teoría gauge que, aunque proviene originalmente de la física teórica, ahora se ha convertido en un tema importante de las matemáticas.

Ngô Bảo Châu: Mi enfoque viene del programa de Langlands, que parte de la teoría de números y llega a la teoría de la representación, el análisis armónico y la teoría de grupos. En ese contexto, se estudia el mismo objeto.

Hitchin: Eso es lo que nos une. Y, de hecho, este congreso, en particular, es un medio para fomentar que la generación más joven de matemáticos de ambos lados [geometría compleja, programa de Langlands] interactúe y adopte los puntos de vista del otro lado. Y que los utilicen para avanzar en su investigación de una manera más profunda.

Oscar García–Prada: El alcance del Laboratorio es, por supuesto, mayor. En este congreso reunimos la experiencia de Nigel y Châu; en el próximo [“Higgs bundles, character varieties and higher Teichmüller spaces”, en mayo de 2023], sobre fibrados de Higgs y la teoría de Teichmüller, reunimos a expertos en teoría geométrica de grupos, geometría hiperbólica, fibrados de Higgs y otros campos relacionados. En este tema, la interacción lleva desarrollándose más tiempo y ha sido extremadamente fructífera. Ahora ya contamos con una generación de matemáticos jóvenes familiarizados con estos temas. En cierto sentido, el propósito de este Laboratorio ha sido intentar replicar eso mismo, en la intersección de la dualidad de Langlands, la simetría de espejo, etc. Y, de momento, ha tenido mucho éxito.

Trabajando en ámbitos matemáticos tan diferentes, ¿cómo empezaron a colaborar?

Hitchin: Nuestra relación no es exactamente una colaboración, sino más bien tenemos un interés común. Supongo que empezó con el sistema de Hitchin.

Ngô: Yo conocí el sistema de Hitchin de una manera bastante casual. Estaba leyendo un artículo de mi director de tesis [Gérard Laumon] en una revista y, justo después, aparecía “Stable bundles and integrable systems”, un artículo de Nigel. Empecé a leerlo. Tenía curiosidad, este artículo era muy popular y muy citado, así que quería saber de qué iba. Fue mi primer encuentro con este texto y debo decir que, aunque en la primera lectura lo entendí, de alguna manera, se me escapó por qué era tan importante. Después de mi tesis doctoral tenía algunas ideas sobre cómo demostrar el lema fundamental [propuesto por Robert Langlands y Diana Shelstad], pero me faltaba un paso, lo que arruinaba mi razonamiento. Entonces, cuatro años después de mi primera lectura del artículo de Nigel, descubrí que contenía exactamente lo que yo necesitaba. Pero no fue en la primera lectura, fue un largo proceso averiguarlo: nuestras ideas procedían de disciplinas matemáticas muy diferentes.

Ngô: «Cuatro años después de mi primera lectura del artículo de Nigel, descubrí que contenía exactamente lo que necesitaba [para demostrar el Lema Fundamental].»

Por su parte, ¿cómo llegó a proponer el sistema de Hitchin?

Hitchin: Para mí también apareció casi por accidente. Hace treinta y cinco años, estaba construyendo un determinado espacio de moduli. Me interesaban sus propiedades topológicas y geométricas, en términos de geometría diferencial. Entonces observé que había un sistema integrable, del que ya sabía algo, pero desde un contexto diferente. Estaba ahí, todo encajaba, y me pareció muy bonito. En aquel momento, no era realmente una parte fundamental de lo que estaba intentando hacer con este espacio de moduli. Sin embargo, posteriormente, resultó que era mucho más fundamental en este marco.

¿Cómo se convirtió este sistema en algo tan importante para una comunidad más amplia?

Hitchin: Algunos físicos empezaron a utilizar este espacio de moduli y mostraron que podría tener alguna relación con el programa de Langlands. Fue entonces cuando quedó claro que la integrabilidad del sistema, que en un principio era sólo una observación que yo había anotado por casualidad, era una característica más fundamental. No fue construido con un propósito. Estaba ahí por casualidad. Esto nos lleva a la pregunta clásica: ¿Qué hacen los matemáticos? ¿Descubrimos o inventamos? En cierto modo, estaba destinado a existir y a ser descubierto en algún momento. Yo di con ello por casualidad.

¿Cómo se relacionan estas ideas con el trabajo del grupo de geometría algebraica y física matemática del ICMAT?

García–Prada: Nigel tiene trabajos sobre estos temas de hace al menos 50 años. El trabajo al que nos referimos, de Nigel, incorpora este aspecto de sistemas integrables y la fibración de Hitchin, gracias al cual Châu compró una casa [risas], pero hay muchos otros elementos rompedores en este trabajo. Por ejemplo, el vínculo con lo que se denominan variedades de caracteres, la correspondencia no abeliana de Hodge. Esto se relaciona con las representaciones del grupo fundamental de superficies, lo que abrió una nueva área de investigación que enlaza con el otro congreso que mencionaba antes [“Higgs bundles, character varieties and higher Teichmüller spaces”]. La contribución de Nigel sobre los fibrados de Higgs tiene muchas direcciones: dualidad de Langlands, simetría de espejo, variedades de caracteres, teoría de Teichmüller superior…

¿Cómo empezó a interesarse por estos temas?

García–Prada: Fui estudiante de Nigel en la Universidad de Oxford en 1988, pero en 1987 fui estudiante visitante. Pasé allí el verano para aprender sobre fibrados, así que me dio un ejemplar de su artículo “The self duality equations on a Riemann Surface”, que acababa de salir. Aún lo conservo. Me pareció hermoso. Cuando volví a la Universidad de Rice (EE UU), donde entonces era estudiante de doctorado, puse a todo el mundo del departamento de matemáticas a trabajar en ese artículo. Tuvimos un seminario de trabajo durante un semestre.

¿Por qué es tan fascinante este objeto?

Ngô: La fibración de Higgs de Nigel es un objeto único que conecta con muchas áreas de las matemáticas. Es realmente interesante que todos pensemos de forma diferente sobre el mismo objeto. Algunas de las preguntas que Nigel hizo al respecto, yo las habría hecho a la inversa. Esto sigue ocurriendo con este tema: en este congreso, Michael Groechenig [ponente de “The Hitchin system, Langlands duality and mirror symmetry”] presentó una nueva demostración de mi lema fundamental. Está estudiando el mismo problema que yo, pero con un punto de vista diferente. Me alegra mucho ver este intercambio desde ángulos diferentes, revela más y más la belleza de las matemáticas.

Ngô: «El intercambio entre diferentes enfoques revela la belleza de las matemáticas.»

¿Cuándo se conocieron?

Hitchin: Quizá en el Instituto Fields (Canadá). En un Simposio Fields [Fundamentos del programa Langlands, 2012].

Ngô: En realidad, recuerdo que visité Oxford un poco antes, invitado por Tamás Hausel [IST Austria, también ponente en el congreso “The Hitchin system, Langlands duality and mirror symmetry”].

Hitchin: Sí, Tamás tenía entonces un puesto en Oxford. Tiene un punto de vista más algebraico que el mío, y también estaba interesado en poner en contacto a nuestras dos comunidades.

Ngô: En aquella época, hace 15 años, aunque estudiáramos más o menos lo mismo, era muy difícil entenderse. Ahora la situación es mejor. Tuvimos a Tamás, que entiende los dos mundos.

Hitchin: Y luego se celebró este Simposio Fields. Hice una presentación sobre la historia de esta fibración [“Higgs bundles, past and present”] desde mi perspectiva. Subrayé el momento en que se me ocurrió la idea principal mientras visitaba a Jacques Hurtubise en Canadá, en su cabaña en las montañas. Estaba sentado allí, con un trozo de papel, y de repente se me ocurrió la idea. Cuando lo mencioné durante la conferencia, Gérard Laumon [director de tesis de Ngô], que se encontraba entre el público, mostró su entusiasmo porque esto hubiera ocurrido en el Canadá francés [risas].

García–Prada: Unos años más tarde, Tamás también contribuyó a facilitar nuestra colaboración. Estaba coordinando un programa de investigación en Lausana (Suiza), donde entonces era profesor, y me pidió que contribuyera a él, organizando un congreso. Pasé allí un mes y aproveché para invitar a Nigel y Châu. De algún modo, este contacto fue el punto de partida de nuestra actual relación.

¿Fue entonces cuando empezaron a colaborar?

Ngô: En Lausana asistí a la charla de Nigel sobre simetría de espejo, branas BBA y otros temas relacionados, y empecé a darme cuenta de que contemplábamos ideas similares.

Hitchin: Construir estos puentes lleva tiempo. Châu tuvo que leer mi artículo original varias veces. Al principio, nuestras perspectivas estaban muy alejadas. Es asistiendo repetidamente a charlas sobre estos temas cuando los aspectos cruciales empiezan a cobrar sentido. Esto subraya la importancia de encuentros como éste.

García–Prada: Por supuesto. Además, el impacto es más pronunciado con la generación más joven, que aporta un enfoque fresco, aprendiendo diversas técnicas que pueden crear eficazmente estas conexiones.

Hitchin: «Cuando escuchas repetidamente charlas sobre estos temas, los aspectos importantes empiezan a cobrar sentido.»

¿Qué resultados les gustaría ver resueltos en los próximos años en este campo?

Ngô: Hay tantas preguntas nuevas interesantes… Este campo se está conectando con muchos otros de las matemáticas muy rápidamente. Me encantaría ver lo que pueden hacer estos investigadores más jóvenes.

Hitchin: Ya podemos observar algunas conexiones bastante convincentes con la simetría de espejo. Sin embargo, algunas cuestiones observadas por los físicos en este contexto aún no se han resuelto del todo. Aunque parecen funcionar, a menudo lo hacen de manera «no oficial». Incluso en los casos en los que entendemos los conceptos subyacentes, es necesaria una consolidación matemática. Y en otros casos, sobre todo en lo que respecta a las formas reales, las branas BAA o sus pares de espejo, la situación no está del todo clara. Hace unos años, durante la conferencia de Lausana que mencionábamos, se plantearon estas cuestiones. En aquel momento, necesitábamos más información para averiguar qué implicaciones tendrían los pares de espejo. Ahora, una vez hemos establecido el concepto de pares de espejo mediante ejemplos, es cuando podemos iniciar el proceso de consolidación matemática. La simetría de espejo ha ejercido una influencia muy convincente en este campo durante los últimos 10-15 años, considero que ha llegado el momento de que ciertas proposiciones tomen una forma más rigurosa. Aunque tenemos formalizados ciertos casos puntuales, creo que existe un marco más amplio que requiere atención. Tengo la esperanza de que lleguemos a algunas resoluciones de este marco.

García–Prada: Esta conexión con la simetría de espejo se inspira en gran medida en el trabajo de los físicos. De hecho, dos de los pioneros en este campo, Philip Candelas y Xenia de la Ossa, participan en este periodo de investigación. Muchas de sus afirmaciones sobre lo que “debe ocurrir” han dado lugar a notables desarrollos matemáticos, pero el reto consiste en demostrarlo. Como ha mencionado Nigel, tenemos resultados dispersos, pero aún falta una cantidad sustancial de pruebas matemáticas rigurosas.

Hitchin: «Sabemos que hay conexiones entre el sistema de Hitchin y la simetría espejo, pero necesitamos consolidarlas matemáticamente.»

¿Cómo podría contribuir a ello el Laboratorio?

García–Prada: Uno de los principales logros del Laboratorio reside en estas generalizaciones más amplias del sistema de Hitchin, como Châu esbozó en su presentación inicial del congreso. Aunque estas generalizaciones puedan parecer demasiado generales, a menudo son herramientas esenciales para entender cuál es el problema real. Ampliando el alcance del concepto para abarcar otras situaciones similares, podemos llegar finalmente al meollo de la cuestión en la simetría de espejo o incluso en las correspondencias de la dualidad de Langlands. Actualmente, nos ocupamos de las correspondencias geométricas de Langlands relativas. Creo que profundizar en estas diversas generalizaciones, sobre todo con la participación de jóvenes investigadores, resultará beneficioso.

Después de este congreso, ¿hay algún otro reto relacionado con este campo que les gustaría destacar?

García–Prada: La última charla de la conferencia, impartida por Tamás Hausel, fue una propuesta programática, en la que nos ha dado trabajo para los próximos veinte años, más o menos [risas]. Ese es sin duda un tema a considerar de cara al futuro, y estuvo muy influido por el trabajo que hemos realizado dentro del Laboratorio. Un estudiante del ICMAT, Miguel González, fue a visitar a Tamás, también como parte del Laboratorio, y hablaron sobre las formas reales; después de eso, Tamás se convirtió al estudio de las involuciones en este contexto [risas].

¿Cómo han sido sus experiencias trabajando en el ICMAT?

Hitchin: Mi relación con el ICMAT se remonta a mucho tiempo atrás. De hecho, formé parte del comité externo que valoró la creación de un instituto como éste en España, y ya llevaba visitando Madrid años antes aquel momento. Creo que la creación del ICMAT ha supuesto un cambio significativo en la forma de hacer investigación matemática en España, particularmente en Madrid. Ha propiciado un entorno en el que la acogida de visitantes es mucho más fluida, y el número de estudiantes que vienen aquí ha aumentado, haciendo que el ambiente sea más animado.

Ngô: Mi relación con el ICMAT es más reciente, pero ha sido muy agradable. He visitado Madrid, y también he recibido a Oscar y Guillermo [Gallego] en Chicago. Iniciamos conversaciones, y nuestros estudiantes también están colaborando. Ha sido una experiencia maravillosa.

García–Prada: Efectivamente. Yo también tengo previsto visitar a Châu en París, en el Collège de France, y en Vietnam, en el Instituto de Estudios Avanzados en Matemáticas, del que es director, para seguir estableciendo conexiones.

Hitchin: «La creación del ICMAT supuso un cambio radical en la manera en que se lleva a cabo la investigación matemática en España.»

¿Cómo describirían la evolución del Laboratorio de Geometría del ICMAT, hasta llegar a esta tercera edición?

García–Prada: Las tres ediciones han sido excelentes. La primera fue únicamente con Nigel. La segunda edición también incluyó, como codirector, a Simon Donaldson y se centró más en las conexiones con la geometría diferencial. Esto condujo a desarrollos relacionados con las métricas de Kähler y conexiones de Yang–Mills, que están vinculados con el trabajo reciente de Simon Donaldson, que también fueron muy significativos para nuestro grupo. Ahora, en este tercer laboratorio con Châu, el tema ha sido muy nuevo para mí. El tipo de matemáticas en las que trabaja Châu es todo un reto para mí. Sin embargo, aprender sobre ello ha sido extremadamente gratificante, no sólo para mí, sino también para la generación más joven. Estos laboratorios tienen un profundo impacto en los investigadores más jóvenes.

¿Cómo ha sido trabajar con estos jóvenes estudiantes en el Laboratorio?

Ngô: He acogido a Guillermo [Gallego] durante un mes, y mis estudiantes de doctorado y posdoctorado también visitaron el ICMAT [Thomas Hameister y Benedict Morrissey, ambos de la Universidad de Chicago].

García–Prada: Este intercambio ha sido muy beneficioso tanto para los estudiantes como para nosotros. Benedict vino en agosto de 2022, cuando el Instituto estaba relativamente tranquilo, y tuvimos un taller intensivo, sólo con mis estudiantes y Benedict. Fue una experiencia muy intensa.

Hitchin: He interactuado con los alumnos de Oscar durante muchos años. He tenido el placer de acoger a muchos de ellos en Oxford. Uno de los aspectos más valiosos de mis visitas periódicas al ICMAT es la oportunidad de conocer las investigaciones de los jóvenes estudiantes. A veces, organizamos una jornada en la que estudiantes doctorales y postdoctorales hacen presentaciones. Requiere preparación por su parte, lo que les ayuda a aprender a dar charlas, pero también es una forma de intercambiar ideas y recibir comentarios dentro del grupo. Comparten sus ideas parcialmente formadas y reciben aportaciones. Todo el mundo se entera de en qué están trabajando los demás. Son ocasiones realmente maravillosas.

García–Prada: Sí, durante dos días todos los estudiantes de doctorado y postdoctorado presentan sus resultados durante media hora cada uno. Aprendemos mucho unos de otros y eso fomenta la cohesión del grupo. Además, a través de este tipo de actividades, hemos empezado a compartir ideas con el Instituto de Física Teórica, sobre todo en relación con los espacios de moduli. Durante unos 15 años, nuestros grupos han trabajado por separado, pero tenemos muchos puntos en común.

En abril de 2022, organizaron una charla con alumnos de 6º de Primaria del Liceo Francés (de 12 años) relacionada con una exposición sobre etnomatemática organizada en colaboración con la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). ¿Cómo fue?

García–Prada: Sí, fue una oportunidad extraordinaria de relacionarnos con una comunidad diferente, a través de nuestro Laboratorio. Un grupo de estudiantes visitó el ICMAT, después de asistir a una exposición fotográfica sobre Kolam de Claudia Silva en la UAM. Châu les dio una charla en francés, durante la cual pudieron hacer preguntas. Un estudiante, en particular, hizo preguntas muy perspicaces y pertinentes. A pesar de su corta edad, ya podías ver a un pequeño matemático.

Ngô: Sí, recuerdo a ese estudiante; hizo preguntas muy precisas. Para el ICMAT es maravilloso participar en este tipo de actividades, conectar con escolares y despertar su interés por las matemáticas y la ciencia. Podemos introducirles en el cautivador mundo de las matemáticas.

García–Prada: Fue una experiencia inspiradora para todos ellos. Todos estaban entusiasmados. No han parado de preguntar: «¿Cuándo volverá Châu?». Nuestros programas de divulgación pueden ser una plataforma de interacción con el Laboratorio, aprovechando la experiencia de los excepcionales matemáticos que nos visitan. Podríamos organizar más sesiones con los directores, dirigidas a niños, creo que sería muy beneficioso.

Ngô: «Es maravilloso para el ICMAT conectar con escolares y despertar su interés por las matemáticas.”