Un nuevo trabajo muestra que cierta rigidez geométrica se rompe cuando se consideran dominios con dos fronteras. Al estudiar una versión relajada de la famosa conjetura de Schiffer, Alberto Enciso (ICMAT-CSIC), Antonio J. Fernández (Universidad Autónoma de Madrid), David Ruiz (Universidad de Granada) y Pieralberto Sicbaldi (Universidad de Granada) han descubierto nuevas soluciones espectrales en dominios con forma de anillo, que revelan conexiones inesperadas con la existencia de flujos estacionarios de fluidos sin simetría radial.

Un nuevo resultado estudia una versión relajada del problema de Schiffer en dominios planos con dos componentes de frontera, como los anillos. Imagen generada con IA.

La forma de la región del espacio donde se plantea un problema (el dominio) influye profundamente en los fenómenos físicos y matemáticos que pueden ocurrir. La manera precisa en la que esto sucede la estudia la geometría espectral, un área de las matemáticas que analiza cómo la topología o geometría de un objeto influyen en los operadores definidos sobre él. Esto permite entender, por ejemplo, como afecta la forma de un tambor al sonido que produce.

La forma del dominio también puede determinar el movimiento de un fluido en su interior. Por ejemplo, si el flujo presenta o no simetrías, si está confinado en una región concreta o si puede tener estructuras más complejas. Uno de los problemas más conocidos en este ámbito es la conjetura de Schiffer, formulada en los años cincuenta del siglo pasado, que predice una fuerte rigidez geométrica: si un dominio plano admite funciones propias del operador de Laplace que son constantes en la frontera, entonces dicho dominio debe ser necesariamente un disco. Este resultado, confirmado en numerosos contextos, sugiere que imponer condiciones espectrales aparentemente simples puede determinar de forma muy estricta la geometría del dominio.

Ahora, en “A Schiffer-type problem for annuli with applications to stationary planar Euler flows”, Alberto Enciso (ICMAT-CSIC), Antonio J. Fernández (Universidad Autónoma de Madrid), David Ruiz (Universidad de Granada) y Pieralberto Sicbaldi (Universidad de Granada) cuestionan esta rigidez, estudiando una versión relajada del problema de Schiffer en dominios planos con dos componentes de frontera, como los anillos. En este nuevo planteamiento se buscan funciones propias que sean constantes en cada componente de la frontera, aunque no necesariamente con el mismo valor.

El resultado principal demuestra la existencia de soluciones no triviales en dominios doblemente conexos, lo que implica que, al permitir una segunda frontera y relajar ligeramente las condiciones, aparecen dominios distintos del disco que admiten este tipo de funciones propias.

Este hallazgo muestra que el fenómeno conjeturado por Schiffer falla si se relajan muy levemente las condiciones de frontera, haciéndolas localmente constantes. Sorprendentemente, para el problema relajado se pueden demostrar esencialmente las propiedades de rigidez que se conocen para la conjetura original de Schiffer. Por tanto, no se puede aspirar a demostrar la conjetura original de Schiffer mediante ningún razonamiento que sólo se base en las condiciones de rigidez conocidas, independientemente de lo ingenioso que dicho argumento sea.

Más allá de su interés teórico, el resultado tiene aplicaciones directas en mecánica de fluidos. En particular, permite construir flujos estacionarios del plano que satisfacen las ecuaciones de Euler, son continuos en sentido de Lipschitz, tienen soporte compacto y no presentan simetría radial. Este tipo de soluciones proporciona nuevos ejemplos explícitos de flujos estacionarios con geometrías complejas, ampliando el repertorio conocido y reforzando el vínculo entre geometría espectral y dinámica de fluidos.