• Javier Parcet (ICMAT-CSIC) obtiene un ERC Advanced Grant, del Consejo Europeo de Investigación, uno de los reconocimientos más competitivos y prestigiosos de la investigación europea.
• El proyecto abordará la elusiva conjetura de rigidez de Connes, que consiste en clasificar estructuras matemáticas complejas nacidas de la mecánica cuántica que permiten modelizar sistemas con numerosas variables y simetrías.
• Parcet será también ponente invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos 2026, que se celebra en julio en Filadelfia (EE. UU.).

Javier Parcet es profesor de investigación del CSIC en el ICMAT. Imagen: Laura M Iraola/ ICMAT.

Ágata Timón (ICMAT-CSIC). La mecánica cuántica ha transformado no solo la física sino también las matemáticas. En los años 20 del siglo pasado, Werner Heisenberg mostró que el mundo subatómico no podía describirse únicamente con las funciones ordinarias de la física clásica. Hacían falta matrices y transformaciones más generales con una propiedad desconcertante: no siempre conmutan. Dicho de otro modo, el orden importa: aplicar primero A y luego B no da necesariamente el mismo resultado que aplicar primero B y luego A. Para dar rigor matemático a esa nueva física, el matemático John von Neumann introdujo en los años 30 las estructuras que hoy llevan su nombre: las álgebras de von Neumann. Se pueden imaginar como grandes arquitecturas matemáticas capaces de modelar sistemas con muchas variables y simetrías, no solo en mecánica cuántica sino también en análisis, geometría o teoría de grupos.

Desde entonces, una de las grandes ambiciones de este campo ha sido clasificarlas: saber cuándo dos de estas estructuras son esencialmente la misma y cuándo son verdaderamente distintas. Como ocurre con los elementos químicos en la tabla periódica, el reto consiste en encontrar las propiedades que permiten ordenar un universo enorme de objetos y reconocerlos por sus rasgos fundamentales. Ahora, el Consejo Europeo de Investigación (ERC, por su siglas en inglés) ha concedido una ERC Advanced Grant al proyecto SMARP (Schur Multipliers and Rigidity Phenomena) de Javier Parcet, profesor de investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), para avanzar en este problema. Es una de las financiaciones más competitivas y prestigiosas de la ciencia europea, dotada con más de 1,8 millones de euros para cinco años. Este ha sido uno de los nueve proyectos seleccionados en esta convocatoria dentro del área de las matemáticas, el único en España.

El proyecto busca aportar luz a la famosa conjetura de rigidez de Connes, uno de los grandes problemas abiertos del área, que pretende completar una zona muy importante de dicha tabla periódica. La idea central de Parcet es tan profunda como sugerente: distinguir ciertas álgebras de von Neumann muy relevantes demostrando que cada una posee, en cierto sentido, un “espectro de tonos” propio. Si se pudiera escuchar ese espectro y comprobar que cambia de un álgebra a otra, se habría encontrado una forma de reconocerlas. Se trata de una forma cuántica de una pregunta matemática clásica: ¿se puede escuchar la forma de un tambor?

“El ERC Advanced Grant potencia el buen momento que estamos viviendo y me permitirá reforzar al equipo, con estudiantes talentosos y postdocs de primer nivel. Vamos a poder volcar mucha energía en la conjetura de rigidez y cuestiones relacionadas”, explica Parcet.

La estrategia del investigador difiere radicalmente de otros enfoques anteriores para abordar esta conjetura. “Me llevó muchos años ver reflejada mi intuición en artículos reales, que esos artículos cristalizasen en una estrategia de ataque sólida hacia la conjetura de rigidez de Connes y que dicha estrategia alcanzase cierto impacto. Ahora sí se entiende que es una posible vía de acción”, declara Parcet, quien ha sido invitado para hablar de estos avances en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM), el mayor encuentro de la disciplina, en Filadelfia (EEUU) del 23 al 30 de julio. El ICM, que se celebra cada cuatro años, es el foro más importante de las matemáticas y el evento en el que se anuncian las Medallas Fields, consideradas el mayor galardón de las matemáticas.

Una paradoja de partida y una conjetura

Para comprender esta conjetura, conviene partir de una de las paradojas más célebres de las matemáticas: la paradoja de Banach-Tarski. Esta sostiene que, bajo determinadas reglas matemáticas, es posible dividir una esfera sólida (por ejemplo, una naranja) en un número finito de piezas y, mediante rotaciones y traslaciones, recomponerlas para obtener dos esferas idénticas a la original. Es un resultado sorprendente que evidencia diferencias profundas entre las estructuras matemáticas que describen las simetrías: los grupos.

John von Neumann introdujo los grupos amenables para identificar las estructuras matemáticas en las que una paradoja de este tipo no puede darse. Décadas después, en 1976, Alain Connes demostró que las álgebras de von Neumann generadas por los grupos amenables no se pueden distinguir entre sí: al construir el álgebra, la información del grupo de partida se borra. Por este trabajo, Connes obtuvo la Medalla Fields.

En 1980, Connes planteó la pregunta opuesta para algunos grupos en los que sí se da la paradoja de Banach-Tarski. Más concretamente, conjeturó que las álgebras de von Neumann de grupos fuertemente no amenables son distinguibles. La familia más importante de este tipo es la de los grupos SLₙ(Z), formados por matrices cuadradas de tamaño n x n con entradas enteras y determinante 1.

Su conjetura es sencilla de formular, aunque extremadamente difícil de demostrar: las álgebras de von Neumann asociadas a SL₃(Z), SL₄(Z), SL₅(Z) y así sucesivamente son todas distintas. Desde hace más de cuatro décadas, matemáticos de todo el mundo han intentado probarla.

Javier Parcet es uno de los conferenciantes invitados al Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de 2026. Imagen: Laura M Iraola/ ICMAT.

Escuchar la forma de un tambor

Treinta y cinco años después de que Connes planteara la cuestión, Parcet empezó a desarrollar una estrategia nueva para abordarla. Su propuesta conecta la teoría de álgebras de von Neumann con el análisis armónico, el área de las matemáticas que estudia cómo descomponer objetos complejos en frecuencias, oscilaciones o tonos (mediante las famosas series de Fourier) de manera parecida a como un sonido puede descomponerse en sus notas.

La apuesta no surgió de la nada. En 2008, Parcet había introducido técnicas de análisis armónico para estudiar las álgebras de von Neumann, abriendo una línea conocida como teoría de Calderón-Zygmund no conmutativa, desarrollada durante su primer ERC [Starting] Grant entre 2010 y 2015. Y, en 2011, leyó un trabajo de Laurent Lafforgue y Mikael de la Salle [quien ahora codirige el Laboratorio “Pisier – de la Salle” en el ICMAT] que cambiaría el rumbo de su investigación. Aquel trabajo mostraba ciertas patologías de las series de Fourier sobre SLₙ(Z) en ciertos espacios. Aquellas anomalías sugerían que los grupos podían dejar una huella detectable en sus álgebras asociadas, que podrían permitir distinguirlas.

“El trabajo de Lafforgue y de la Salle fue un punto de inflexión que rescató e impulsó las aportaciones previas de Uffe Haagerup alrededor de la conjetura, que llevaban años olvidadas como vía de ataque. No obstante, no pudieron constatar si las patologías observadas se producen en distintos rangos para distintos valores de n, algo que implicaría la conjetura de Connes, pero que suscitaba demasiadas dudas en ese momento”, explica Parcet.

“Cuando leí el paper intuí por vez primera que podía existir una conexión entre dichas patologías y aspectos muy profundos del análisis armónico clásico, como son los fenómenos tipo Bochner-Riesz y Kakeya. Dicha intuición tuvo gran impacto en mi trabajo y condujo mis intereses científicos desde entonces. Necesitaba entender cómo esa forma del análisis armónico se manifiesta en las álgebras de von Neumann de los grupos considerados por Connes”, afirma el matemático.

Si su intuición es correcta, las patologías aparecerían en rangos distintos para SL₃(Z), SL₄(Z), SL₅(Z) y otros grupos de la familia. Y, entonces, los rangos funcionarían como una especie de huella digital: un rasgo interno que permitiría distinguir las álgebras asociadas y, con ello, resolver la conjetura de Connes.

La estrategia consiste en buscar si cada una de esas álgebras vibra de una forma diferente, si posee una firma armónica propia. «Cada álgebra de von Neumann admite, en cierto sentido, un rango de tonos determinado, del mismo modo que el sonido de un tambor nos da pistas sobre su forma. Nosotros pretendemos esclarecer estos rangos utilizando elementos del análisis armónico (multiplicadores de Fourier y de Schur) para escuchar. Esto permitiría concluir que no se trata de estructuras equivalentes y demostrar la conjetura de rigidez, o al menos aportar luz en esa dirección», explica Parcet.

Desde 2015 han aparecido crecientes evidencias que justifican la intuición original de Parcet. Esto incluye, además, conexiones sin precedentes entre aspectos de la conjetura de rigidez de Connes y de la famosa conjetura de Kakeya en trabajos de Parcet (2021) y de la Salle (2026).