Horizontes de las matemáticas, con Eleonora di Nezza (Universidad de Roma Tor Vergata, Italia)
Eleonora di Nezza es catedrática en la Universidad de Roma Tor Vergata (Italia). Imagen: Elisa Ramírez García
La geometría de Kähler estudia espacios dotados de una estructura excepcionalmente rica, fruto de la intersección de tres geometrías distintas. Esa versatilidad permite abordar problemas difíciles sobre las métricas, que determinan la curvatura de estos espacios, algunos de ellos conectados con la física teórica, y reunidos en una lista ordenada por dificultad según el Programa de Calabi. En el Coloquio Conjunto de Matemáticas ICMAT-UAM-UCM-UC3M, del pasado 7 de noviembre, Eleonora di Nezza, catedrática de la Universidad de Roma Tor Vergata, presentó las técnicas desarrolladas en las dos últimas décadas para estudiar métricas especiales en variedades de Kähler.
Elisa Ramírez García (Ayuda CSIC-FBBVA de Comunicación Científica 2024)
De la misma manera que no tendría sentido usar un mapa del metro para orientarse en una montaña, para resolver un problema matemático concreto es posible escoger diferentes geometrías existentes, utilizando en cada caso la más adecuada, o la que facilita el trabajo. La geometría aporta precisamente una forma de describir el espacio en el que se considera el problema: proporciona el lenguaje y las herramientas para analizar las formas y las estructuras que aparecen.
Por ejemplo, la mecánica clásica, la rama de la física que describe el movimiento de los cuerpos cotidianos, como una pelota, un péndulo o una peonza, se formula sobre una geometría llamada geometría simpléctica. En cambio, cuando se enfrentan problemas dentro del marco de la Relatividad General, desarrollada por Einstein en 1915 para describir el comportamiento de cuerpos muy masivos, como los planetas o las estrellas, se emplea la geometría de Riemann, una generalización a más dimensiones de la antigua geometría euclidiana, la de las figuras planas.
Cada geometría tiene su propio potencial y sus herramientas características. Entre ellas, hay una especialmente interesante, porque integra de forma compatible las propiedades de varias geometrías distintas: la geometría de Kähler. Situada en la intersección de tres mundos, el simpléctico, el riemanniano y el complejo, esta geometría estudia espacios dotados de una estructura muy rica llamados variedades de Kähler, introducidas por el matemático alemán Erich Kähler en 1933.
Variedad de Calabi-Yau, un ejemplo famoso de Variedad de Kähler/ Imagen: Lunch (Wikimedia commons)
La estructura matemática que define las variedades de Kähler en ciertos problemas ayuda a aportar más información y le confiere una gran versatilidad: “Una variedad de Kähler tiene mucha estructura, proveniente de distintas geometrías, pero todas funcionan bien juntas. Muchos problemas difíciles se vuelven más manejables porque uno puede usar todas esas estructuras a la vez. Es casi magia”, apunta Eleonora di Nezza, catedrática de la Universidad de Roma Tor Vergata y ponente del Coloquio Conjunto de Matemáticas ICMAT-UAM-UCM-UC3M y del curso impartido en el ICMAT titulado “El espacio de potenciales de Kähler”, celebrados este mes de noviembre.
Por ser una variedad compleja, en ella pueden definirse funciones que toman y devuelven valores complejos. Y, por ser riemanniana, dispone de una métrica que permite medir distancias y calcular curvaturas. Su carácter simpléctico viene dado de forma natural y sirve de conexión entre las otras dos estructuras anteriores.
Las métricas de Kähler que resuelven las ecuaciones de Einstein
Las variedades de Kähler suponen una gran ventaja para enfrentar un problema matemático derivado de las ecuaciones de la relatividad general de Einstein. Estas ecuaciones describen cómo un objeto masivo deforma a su alrededor el espacio-tiempo (que se modela como una variedad de Riemann), generando lo que se percibe como gravedad. La cuestión (de carácter geométrico) es identificar la métrica –la forma matemática de medir distancias– que determina cómo se curva esa variedad, lo que se describe a través de medidas de curvatura como la curvatura de Ricci.
Ecuaciones de Campo de Einstein: g_μν es la métrica, R_μν la curvatura de Ricci y R la curvatura escalar.
En el caso más simple, el vacío, donde no hay materia, el problema se traduce geométricamente en buscar una métrica para la que la curvatura de Ricci sea constante. Resolverlo en toda su generalidad resulta extremadamente difícil y sigue siendo un desafío abierto en geometría riemanniana. Sin embargo, en el marco de la geometría de Kähler, Di Nezza afirma que la situación cambia por completo: “En variedades riemmanianas, que es donde se define el problema de forma general, está resuelto en dimensiones pequeñas, hasta cuatro, y en casos con simetrías que comprendemos bien; pero para cualquier dimensión sigue abierto. En una variedad de Kähler, en cambio, gracias a su estructura adicional, el problema sí tiene una respuesta en cualquier dimensión”.
El programa de Calabi: la lista de tareas de los y las geómetras de Kähler
En el caso particular en el que la curvatura de Ricci es igual a cero, su solución es una métrica Kähler que aporta la estructura que da lugar a unas variedades de Kähler concretas denominadas de Calabi-Yau, en honor a dos grandes matemáticos. Eugenio Calabi, matemático estadounidense, conjeturó su existencia en 1957 y Shing -Tung Yau, matemático chino-estadounidense, la demostró, obteniendo por ello la medalla Fields en 1982. Estas variedades resultaron tener una enorme relevancia en física teórica, especialmente en la teoría de cuerdas, donde se utilizan para describir dimensiones adicionales del universo.
Sección bidimensional de una variedad Calabi-Yau de seis dimensiones, un caso particular de variedad de Kähler / Imagen: Andrew J. Hanson
El estudio de otras métricas de Kähler con propiedades de curvatura especiales también fue iniciado por Eugenio Calabi. Tras la demostración de Yau de una de sus conjeturas, los y las geómetras de Kähler comenzaron a desarrollar y ampliar las ideas originales de Calabi, que gradualmente se cristalizaron en una secuencia de problemas cada vez más restrictivos. Este conjunto de preguntas se conoce ahora como el Programa de Calabi, en su honor, aunque su formulación como programa sistemático surgió posteriormente.
Eugenio Calabi /Imagen: Konrad Jacobs, Erlangen
Este programa puede entenderse como una lista de problemas organizados según el tipo de restricción a la curvatura que se impone sobre la métrica, en un orden creciente de dificultad. El primer objetivo de esa lista, encontrar métricas con curvatura de Ricci constante, está completamente resuelto –en la geometría Kähler, en la formulación riemmaniana original sigue siendo un problema abierto, como se ha comentado antes–. El siguiente desafío consiste en determinar si existen variedades de Kähler que admitan una métrica con curvatura escalar constante, otra medida fundamental de la curvatura del espacio. Según Di Nezza: “La segunda línea de la lista está casi completa. Se ha resuelto para el caso suave, sin singularidades, y también se ha avanzado de manera significativa en el caso singular.”
Di Nezza ha contribuido significativamente en el primer reto del programa de Calabi, estudiando las singularidades de la ecuación a la que se reduce el problema de encontrar métricas de Kähler con curvatura de Ricci constante: la ecuación de Monge-Ampère. Para ello, aplicó técnicas analíticas de la teoría de pluripotenciales, un marco avanzado de análisis complejo.
Por otro lado, su contribución más reciente ha consistido en demostrar un teorema existente en un marco general que, de algún modo, abarca todos los resultados obtenidos en los últimos seis años en el estudio del segundo reto del programa de Calabi.
“Es crucial tener una visión global del problema, pero luego uno debe enfrentarse al trabajo técnico y de cálculo con cuidado y honestidad. A veces uno piensa: ‘Ah, esto va a funcionar de esta manera’, pero el diablo está en los detalles”, asegura Di Nezza.
Eleonora di Nezza
Di Nezza durante el coloquio. Imagen: Elisa Ramírez García
Desde septiembre de 2025, Eleonora di Nezza es catedrática en la Universidad de Roma Tor Vergata (Italia), y desde 2023 lidera el proyecto “SiGMA” (Ecuaciones singulares de Monge-Ampère), financiado con un Consolidator Grant del Consejo Europeo de Investigación (ERC). Hasta 2025, desarrolló su trabajo en Francia con puestos en la Sorbona, la École Polytechnique y la Ecole Normale Supérieure de Paris.
Realizó su investigación doctoral entre la Universidad de Roma Tor Vergata y la Universidad Paul Sabatier de Toulouse (Francia) sobre la geometría de las ecuaciones complejas de Monge-Ampère en variedades de Kähler compactas.
Tras obtener su doctorado, realizó una estancia postdoctoral en el Imperial College de Londres (Reino Unido), con una beca Marie Curie, durante la cual se incorporó al Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas de Berkeley (Estados Unidos). En 2017, se trasladó a Francia para unirse al Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS).
Ha sido galardonada con varios premios en los últimos años: la Medalla de Bronce del Centro Nacional para la Investigación Científica de Francia (CNRS) en 2021, el Premio Reine-Elizabeth de la Fundación Pierre Le Conte de la Academia Francesa de Ciencias en 2023, y el Premio Bartolozzi de la Unión Matemática Italiana (ex aequo con Cristiana De Filippis) en 2023.
Coloquio conjunto: «Special metrics in Kähler geometry», Eleonora Di Nezza, Università degli studi di Roma. 7 de noviembre de 2025, Aula Miguel de Guzmán, Facultad de Matemáticas, Universidad Complutense de Madrid
Resumen: Over the past two decades, a powerful variational framework has emerged for studying special metrics on Kähler manifolds, including Kähler-Einstein and constant scalar curvature Kähler metrics. In this talk, I will introduce the central ideas of this approach, highlight the key players in the theory, and discuss some of the most recent advances in the field.