Clasificar las álgebras de von Neumann —el lenguaje matemático de la mecánica cuántica— es uno de los grandes problemas abiertos de las matemáticas. Del 18 al 22 de mayo de 2026, el ICMAT reúne a cincuenta especialistas internacionales para explorar una estrategia prometedora: usar el análisis armónico para «escuchar» diferencias que otros métodos no han logrado detectar.
Ágata Timón (ICMAT-CSIC)
La semana del 18 al 22 de mayo, el ICMAT acoge el congreso Harmonic analysis and von Neumann algebras, que reunirá a medio centenar de especialistas provenientes de diversas instituciones académicas nacionales e internacionales. El evento, centrado en la intersección de estas dos áreas candentes de las matemáticas, se engloba en el Laboratorio Severo Ochoa “Giles Pisier- Mikael de la Salle” del ICMAT.
Por un lado, las álgebras de von Neumann son “el lenguaje matemático que describe sistemas con muchísimas variables y simetrías”, según expone Javier Parcet, profesor de investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el ICMAT y coorganizador del evento. “Especialmente en mecánica cuántica, donde los observables cuánticos son operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert”. Desde hace décadas, los matemáticos trabajan para clasificar estos objetos, que también aparecen al estudiar procesos aleatorios, sistemas dinámicos complejos o propiedades geométricas de grupos no abelianos. “La idea de clasificarlas es parecida a la de ordenar los elementos químicos en una tabla periódica: no basta con saber que existen muchas estructuras distintas; queremos entender cuáles son esencialmente iguales, cuáles tienen propiedades únicas y qué tipos fundamentales hay”, explica Parcet, quien ha sido invitado como ponente al Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de 2026 en Filadelfia para hablar, precisamente, de sus resultados en este tema.
Esta clasificación no supone solo ordenar objetos abstractos, sino entender mejor la arquitectura matemática de sistemas complejos. “La clasificación ha permitido descubrir distintos “niveles de infinito” y comportamientos inesperados en matemáticas y física. Además, conecta áreas muy diferentes —como geometría, probabilidad, análisis, computación cuántica y teoría de números— mostrando que comparten estructuras profundas”, detalla Parcet.
En los últimos años, las álgebras de von Neuman también han resultado tener una relación muy fértil, que es en la que se centra el congreso, con otra área de las matemáticas: el análisis armónico. “El análisis armónico estudia cómo descomponer paquetes de información —sonidos y cualquier otra “señal» expresada como función— en componentes (ondas) más simples, tradicionalmente en espacios euclídeos o sus cocientes compactos. Las álgebras de von Neumann proporcionan el lenguaje para describir esas funciones en contextos más complejos, donde el producto de dos funciones no conmuta, es decir, AxB es distinto de BxA”, asegura Parcet.
“El modelo son los grupos no abelianos, estructuras matemáticas donde el orden importa (como en las rotaciones y simetrías de un objeto en el espacio o las permutaciones de un conjunto)”, dice. “Ahí el análisis de Fourier clásico no basta y los paquetes de información se descomponen mediante operadores sobre espacios de Hilbert (representaciones del grupo)”, añade. De nuevo, las álgebras de von Neumann organizan la “estructura profunda de geometrías no abelianas”, resume Parcet. “Y, el análisis armónico intenta “escuchar” dichas geometrías a través de las descomposiciones, que generalizan a las series de Fourier en análisis armónico clásico. Ese puente es importante en física teórica y varios campos de la matemática moderna”, concluye.
¿Se puede escuchar la clasificación de las álgebras de von Neuman?
En 2011, un importante trabajo de Vincent Lafforgue y Mikael de la Salle (también organizador del evento), sentó las bases para una nueva estrategia, que usa análisis de Fourier, para abordar una de las grandes preguntas sobre álgebras de von Neuman: la conjetura de rigidez. “La rigidez es un fenómeno que se remonta a la teoría de grupos. En álgebras de von Neumann asociadas a grupos, la pregunta fundamental es “¿cuánta estructura del grupo original es recordada por el álgebra asociada?” y, en ese contexto, la rigidez se puede definir como la cantidad de información recordada”, explica Parcet.
En 1982, Alain Connes fue galardonado con la Medalla Fields por demostrar, entre otras cosas, que ciertos grupos, llamados amenables discretos (grupos que no admiten descomposiciones paradójicas de tipo Banach-Tarski), dan lugar a álgebras de von Neumann esencialmente indistinguibles. “Por el contrario, existen grupos “superrígidos”, cuyas álgebras de von Neumann recuerdan su estructura completa. Así, las álgebras de von Neumann son estructuras fascinantes que van desde muy flexibles a completamente rígidas”, expone.
Connes se planteó, en 1980, si las álgebras de von Neumann del grupo SLn(Z) (que son las matrices cuadradas de tamaño n, cuyas entradas son números enteros y con determinante igual a 1) no son isomorfas, para distintos valores de n. “Una versión algo más general de este enunciado se conoce como la conjetura de rigidez de Connes, que hoy día supone uno de los retos más importantes de las álgebras de operadores y la teoría geométrica de grupos”, relata Parcet.
“El trabajo de Sorin Popa y muchos otros matemáticos en lo que va de siglo XXI ha supuesto una segunda evolución del área, pero sus métodos (eminentemente ergódicos) no han servido hasta la fecha para resolver el problema”, señala Parcet. Por ello, la perspectiva, radicalmente diferente, introducida por Haagerup y refinada en su forma Lp por Lafforgue y La Salle en 2011 es, a día de hoy, una dirección prometedora. “Lo que intentamos es “escuchar” las diferencias entre tales álgebras de von Neumann a través de las propiedades de aproximación Lp de sus series de Fourier”, dice Parcet.
“En los últimos años hemos encontrado varias evidencias que sugieren la posible existencia de invariantes relacionados con formas no conmutativas de desigualdades de tipo Bochner-Riesz y Kakeya, en los que estamos trabajando activamente. Además de ello, seguimos muy interesados en aspectos del análisis armónico sobre grupos libres, toros no conmutativos y otras álgebras de von Neumann. Por ello, es tremendamente interesante organizar este congreso, para reunir a ambas comunidades”, concluye Parcet.