Horizontes de las matemáticas, con Julia Wolf (Universidad de Cambridge, Reino Unido)

Julia Wolf, catedrática en la Universidad de Cambridge, fue la ponente del último Coloquio Conjunto de Matemáticas ICMAT-UAM-UCM-UC3M. Imagen: Laura Moreno Iraola/ ICMAT.

La teoría de modelos ofrece un marco lógico para distinguir entre estructuras matemáticas con un comportamiento predecible y otras de complejidad extrema. A partir de conceptos como la estabilidad o la dimensión VC, esta disciplina conecta la lógica con áreas tan diversas como la combinatoria, el álgebra o el aprendizaje automático, y abre nuevas vías para entender qué hace que una estructura matemática sea, o no, controlable. El pasado 6 de febrero, Julia Wolf (Universidad de Cambridge) presentó sus recientes contribuciones al tema, cuyo objetivo es extender estas nociones para que puedan aplicarse a estructuras matemáticas descritas mediante fórmulas en más de dos variables, que son la mayoría. Fue en el Coloquio Conjunto de Matemáticas ICMAT-UAM-UCM-UC3M, bajo el título ‘Where do you draw the (dividing) line?’.

La teoría de modelos ocupa un lugar central dentro de la investigación matemática contemporánea, ya que proporciona un lenguaje y un conjunto de herramientas para analizar, desde un punto de vista lógico, la estructura interna de los objetos matemáticos. Estudia cómo las propiedades formales de un sistema de axiomas se relacionan con el comportamiento de las estructuras que los satisfacen, actuando así como un puente entre la lógica y áreas tan diversas como el álgebra, la geometría o el análisis. En particular, la teoría de modelos ofrece criterios precisos para distinguir entre contextos matemáticos “bien comportados” y otros de gran complejidad, lo que resulta clave para comprender qué fenómenos pueden clasificarse, describirse o predecirse de manera sistemática. En este marco se inscribe la distinción entre estructuras dóciles y estructuras salvajes.

“En lógica, se dice que una estructura es dócil si las fórmulas lógicas [o axiomas] que la describen tienen propiedades bien comportadas, por ejemplo, si solo dan lugar a unos pocos tipos posibles”, explica Julia Wolf, catedrática en la Universidad de Cambridge y ponente del último Coloquio Conjunto de Matemáticas ICMAT-UAM-UCM-UC3M. Esto significa que, dentro de esa estructura, las fórmulas lógicas solo permiten un número limitado de comportamientos esencialmente distintos: aunque pueda haber muchos elementos, estos se agrupan en clases bien definidas que presentan patrones claros y controlables. “Las estructuras salvajes, en contraposición, se caracterizan por fórmulas que permiten una complejidad incontrolada. Estas propiedades formales se reflejan en el comportamiento concreto de la propia estructura matemática”, añade.

“Por ejemplo, cualquier campo infinito cuya teoría de primer orden sea muy dócil en el sentido de la lógica (concretamente, «superestable») es algebraicamente cerrado, lo que significa que toda ecuación polinómica con coeficientes del campo tiene una solución en el propio campo. Por el contrario, el grafo aleatorio es salvaje: sus fórmulas pueden codificar todos los grafos finitos, lo que conduce a una complejidad combinatoria máxima”, señala Wolf.

La investigación de Wolf se centra en el ámbito de la combinatoria y la teoría de números. Imagen: Laura Moreno Iraola/ICMAT.

Por ello, es interesante identificar propiedades que separen una clase de estructuras de otra. “Una forma de separar las estructuras dóciles de las salvajes es mediante la dimensión VC, que mide la complejidad de las familias de conjuntos definidas por fórmulas: una dimensión VC baja indica un comportamiento estructuralmente simple, mientras que una dimensión VC infinita señala la capacidad de codificar patrones arbitrarios. Una línea divisoria aún más marcada la ofrece la estabilidad”, describe.

La dimensión VC también desempeña un papel fundamental en la teoría del aprendizaje estadístico. “Caracteriza con precisión qué clases de hipótesis se pueden aprender a partir de datos finitos, dentro de un popular marco de aprendizaje conocido como «PAC». Más recientemente, las ideas de la estabilidad teórica de modelos también han entrado en la teoría del aprendizaje: se ha demostrado que la estabilidad es esencialmente equivalente a la capacidad de aprendizaje bajo restricciones de privacidad diferencial”, declara Wolf.

Sin embargo, estas nociones presentan ciertas limitaciones importantes. “Ambas nociones se aplican de forma más natural a las fórmulas binarias (en dos variables), mientras que muchas estructuras matemáticas se describen de forma inherente mediante fórmulas en más de dos variables. Mi trabajo reciente se centra en ampliar la noción y las aplicaciones de la dimensión VC y la estabilidad a estos entornos”, afirma Wolf.

Algunas de las ideas clave de su enfoque provienen de un área bastante alejada, concretamente de la combinatoria aditiva, en la que Wolf se formó inicialmente. “Este campo estudia objetos como conjuntos de números enteros y sus propiedades aditivas. Tiene su propia jerarquía de complejidad, bastante diferente, organizada según el orden del análisis de Fourier, necesario para contar las soluciones a diversos sistemas de ecuaciones lineales”, explica. “Una estructura algebraica que aparece en el análisis de Fourier de orden superior ha resultado ser fundamental para identificar una generalización adecuada de la estabilidad de orden superior. También ha proporcionado un terreno fértil para poner a prueba esta nueva noción, al tiempo que nos ha permitido refinar nuestra comprensión técnica del propio análisis de Fourier de orden superior”, detalla.

Julia Wolf, figura clave de la combinatoria actual

Julia Wolf es catedrática de Matemáticas Puras en la Universidad de Cambridge. Su investigación se centra en el ámbito de la combinatoria y la teoría de números, especialmente en la combinatoria aditiva, la pseudoaleatoriedad y las interacciones entre la combinatoria y la teoría de modelos.

Doctora por la Universidad de Cambridge bajo la supervisión de Timothy Gowers, Julia Wolf ha ocupado puestos en instituciones como la École polytechnique de París, la Universidad de Bristol (Reino Unido), la Rutgers University (EE UU) o el Institute for Advanced Study de Princeton (EE UU).

A lo largo de su carrera ha recibido numerosos reconocimientos, entre ellos el Anne Bennett Prize y el Atiyah Fellowship de la London Mathematical Society, y, más recientemente, el Pilkington Prize de la Universidad de Cambridge. Actualmente, su investigación cuenta con el apoyo del Consejo de Investigación en Ingeniería y Ciencias Físicas.

Wolf combina su actividad investigadora con una intensa labor docente y de supervisión de estudiantes de doctorado, así como con un fuerte compromiso con la divulgación matemática, la formación avanzada y la promoción de la participación de mujeres en matemáticas. Ha desempeñado además un papel destacado en la organización de congresos internacionales, en tareas editoriales y en responsabilidades institucionales dentro de la comunidad matemática.