Investigadores del ICMAT ponen punto final a una conjetura de Chern

Investigadores del ICMAT ponen punto final a una conjetura de Chern

 

  • Esta afirma que en cualquier espacio es posible diseñar sistemas de control geométrico máximamente controlables.
  • En 2015, Francisco Presas (ICMAT), Roger Casals (UC Davis, California, EE UU) y Dishant M. Pancholi (Institute of Mathematical Sciences, Chennai, India) demostraron el enunciado para espacios de dimensión cinco de este problema, en el que han trabajado muchos matemáticos durante los últimos 20 años.
  • Ahora, Presas, Casals y Murphy (IAS, Princeton) han publicado un trabajo en el Journal of the American Mathematical Society en el que demuestran que muchos de los esfuerzos realizados buscando resolver este problema eran válidos y, de hecho, equivalentes.

 

Madrid, 26 de noviembre de 2019. La llamada conjetura de Chern ha sido uno de los problemas abiertos más importantes en el área de la topología simpléctica durante más de 20 años. En 2015 fue resuelta para espacios de dimensión cinco por Francisco Presas, Científico Titular del CSIC en el ICMAT, Roger Casals, entonces estudiante de doctorado de Presas y ahora profesor en la universidad de Davis en California, y Dishant M. Pancholi, del Chennai Mathematical Institute (India). Tan solo un par de meses después de que Annals of Mathematics –una de las revistas científicas más prestigiosas en el campo de las matemáticas–  aceptara su resultado, otro grupo de matemáticos de la Universidad de Stanford anunció una demostración del caso general.

“Lo cierto es que el método de Matthew Strom Borman, Yakov Eliashberg y Emmy Murphy  (Standford) era el más natural para demostrar la conjetura, y, de hecho, ellos la probaron de forma general, aunque conceptualmente el salto de dimensión de tres a cinco, que dimos nosotros, era el más grande, y nuestro anuncio hizo que ellos empezaran a pensar en el problema”, apunta Presas. En su trabajo, el grupo de Stanford fue capaz de generalizar el llamado disco overtwisted –bien conocido en dimensión 3– para resolver el problema. “Este disco es una pieza con la que habían soñado los investigadores del área durante muchos años: se puede imaginar como un controlador universal de cualquier espacio”, según el investigador.

El artículo de 2015 de Presas se basaba en otro modelo de controlador, introducido por el matemático Klaus Niederkruguer en el año 2005, el plastikstufe. Además de esta, había hasta siete definiciones alternativas de controladores universales, introducidas en los 15 años anteriores, y con nombres peculiares como la estabilización negativa de un libro abierto asociado, una cirugía +1 a lo largo de una esfera loose, la hipótesis de que el unknot legendriano es loose. “Las definiciones alternativas son mucho más manejables: en particular, una llamada el tamaño importa se ha utilizado con éxito en muchos artículos de los últimos cuatro años”, explica el matemático.

Sin embargo, no se sabía cuál era la relación entre esas antiguas nociones y la general propuesta por Borman, Eliashberg y Murphy, hasta ahora. “Tras dos años de trabajo, hemos conseguido demostrar que todas las definiciones alternativas de controlador universal son equivalentes a la definición introducida por los investigadores de Stanford”, afirma Presas.

El artículo en el que incluyen esta demostración, publicado este año en el Journal of the American Mathematical Society, ha supuesto un punto final a la resolución de la conjetura de Chern, y, además, ha validado el trabajo de muchos matemáticos del área en los últimos 20 años. “Probamos que existen los Reyes Magos (es decir, los deseados controladores universales) y muchos investigadores tienen regalo: han acertado con su definición de controlador universal, ya que ¡todas son la misma!”, concluye Presas.

La carrera para demostrar la conjetura

Esta conjetura de Chern fue propuesta en el año 1965 por el matemático chino-americano Shiing-Shen Chern, considerado uno de los padres de la geometría diferencial, y uno de los matemáticos más importantes del s. XX.  “Es una afirmación muy general, que asegura que es posible dotar cualquier espacio de un sistema de control con ciertas propiedades”, resume el matemático Fran Presas. Un sistema de control consiste en un espacio de fases (el conjunto de estados del sistema) y un conjunto de controles, que son elecciones de dirección escogidas en cada punto del espacio, que se denominan admisibles. Así se puede entender como un sistema con capacidad de control limitada: en cada instante solo puedes moverte a lo largo de una dirección admisible. El sistema es controlable si usando estas direcciones admisibles (controles) es posible conectar dos puntos del espacio de fases arbitrarios.

En concreto, la conjetura de Chern determina que cualquier espacio admite una distribución de hiperplanos (direcciones admisibles) muy controlable. Numerosos matemáticos han trabajado en esta conjetura hasta su resolución completa en 2015. Entre ellos, William Thurston –pionero  en el campo de la topología geométrica y ganador de la Medalla Fields en 1982–, el ruso Mijaíl Gromov –premio Abel en 2009– inspirado en los trabajos de John Nash –premio Nobel de economía y premio Abel de matemáticas–y Yakov Eliashberg. “Yo estuve trabajando durante casi una década en este problema hasta dar con la solución”, relata Presas.  

Cuando anunciaron el resultado, la revisión se extendió durante más de dos años y, en los últimos meses del proceso, Borman, Eliashberg y Murphy afirmaron que tenían su propia demostración. “Nuestro resultado podía quedar obsoleto en cuestión de días. Sin embargo, pocas semanas después aceptaron el artículo y fue un alivio tremendo”, admite el investigador. Ahora, con este segundo resultado, han conseguido reconocer el trabajo de muchas de las personas que se han dedicado a este tema dentro del área llamada topología simpléctica.

Referencias:

Casals, Roger; Murphy, Emmy; Presas, Francisco. Geometric criteria for overtwistedness. J. Amer. Math. Soc. 32 (2019), no. 2, 563–604.

Casals, Roger; Pancholi, Dishant M.; Presas, Francisco. Almost contact 5-manifolds are contact. Ann. of Math. (2) 182 (2015), no. 2, 429–490.