Algebra-Algebraic and Aritmetic Geometry Seminar
Progresiones aritméticas de cuadrados sobre cuerpos de números
Speaker: Enrique González Jiménez (UAM-ICMAT)Date: Wednesday, 04 March 2026 - 11:00Place: Aula 420, Módulo 17, Departamento de Matemáticas, UAM
Abstract:
Un problema clásico de la teoría de números consiste en estudiar la existencia de progresiones aritméticas formadas únicamente por cuadrados. Sobre el cuerpo de los números racionales es sencillo comprobar que existen infinitas progresiones aritméticas de tres cuadrados. Sin embargo, ya en 1640 Pierre de Fermat afirmó que no existen progresiones aritméticas no constantes de cuatro cuadrados racionales, resultado que fue demostrado posteriormente por Leonhard Euler en 1780.
De manera natural, surge la pregunta de qué ocurre al considerar cuerpos de números más generales. En el caso de los cuerpos cuadráticos, Xavier Xarles demostró en 2012 que no existen progresiones aritméticas no constantes de seis cuadrados.
En la primera parte de la charla se presentarán diversos resultados obtenidos por el autor a lo largo de los últimos años sobre la existencia de progresiones aritméticas de cuatro y cinco cuadrados en cuerpos cuadráticos. Estos problemas se abordan mediante la determinación explícita de las soluciones de ciertas ecuaciones diofánticas asociadas. Las técnicas empleadas incluyen el cálculo del grupo de Mordell–Weil de curvas elípticas sobre cuerpos de números, el método de las colecciones recubridoras y el método de Chabauty elíptico.
Al extender el estudio a cuerpos de números de mayor grado, el primer caso natural es el de los cuerpos cúbicos. En este contexto, Andrew Bremner y Samir Siksek demostraron que no existen progresiones aritméticas no constantes de cinco cuadrados.
La segunda parte de la charla se centrará en el estudio del problema sobre cuerpos de números de grado superior. En particular, se desarrollará una estrategia inspirada en una idea clásica debida a Louis Mordell, que permite combinar métodos aritméticos y geométricos para abordar este tipo de cuestiones.
