Oscar García-Prada (ICMAT-CSIC), Steven Bradlow (Universidad de Illinois en Urbana-Champaign), Brian Collier (Universidad de California Riverside), Peter B. Gothen (Universidad de Oporto) y André Oliveira (Universidad de Trás-os-Montes e Alto Douro) publican sus resultados en la revista Annals of Mathematics.
Desde hace tiempo, es sabido que el espacio de Teichmüller de una superficie compacta puede identificarse con una componente conexa del espacio de moduli de representaciones del grupo fundamental de la superficie en el espacio PSL(2,R). Los espacios de Teichmüller de rango superior son generalizaciones de éste, que existen en el espacio de moduli de representaciones del grupo fundamental de la superficie en ciertos grupos de Lie reales simples no compactos de rango superior. Al igual que el espacio de Teichmüller habitual, estos espacios están constituidos por representaciones discretas y fieles. Sin embargo, se sabe mucho menos de ellos.
Los primeros ejemplos de estos los proporcionó Nigel Hitchin para grupos reales de tipo split en su artículo seminal «Lie groups and Teichmüller space», utilizando la teoría de fibrados de Higgs que había introducido en 1987. Posteriormente, una nueva clase de espacios de Teichmüller de rango superior fue proporcionada para el caso de representaciones con invariante de Toledo maximal en grupos de tipo hermítico. Tras varias propuestas para los grupos clásicos, Oliver Biquard, Oscar García-Prada y Roberto Rubio dieron una construcción de estos espacios utilizando la teoría de fibrados de Higgs para grupos generales de tipo hermítico, en el artículo «Higgs bundles, Toledo invariant and the Cayley correspondence». Todas las representaciones en estas componentes son discretas y fieles, como se demostró usando una combinación de la teoría de los fibrados de Higgs con los trabajos de Labourie, por un lado, y Burger, Iozzi y Wienhard, por otro.
Durante algún tiempo, se creyó que los grupos reales de tipo split y los grupos de tipo hermítico eran las dos únicas clases de grupos para las que existían espacios de Teichmüller de rango superior. Sin embargo, de nuevo haciendo uso de la teoría de fibrados de Higgs y los trabajos de Guichard y Wienhard sobre estructuras positivas en grupos de Lie, se pudo comprobar que no era así. En el artículo “SO(p,q)-Higgs bundles and higher Teichmüller components”, Marta Aparicio-Arroyo, Steven Bradlow (Universidad de Illinois en Urbana-Champaign), Brian Collier (Universidad de California Riverside), Oscar García-Prada (ICMAT-CSIC), Peter B. Gothen (Universidad de Oporto) y André Oliveira (Universidad de Trás-os-Montes e Alto Douro) ofrecen una construcción mediante la teoria de fibrados de Higgs para la familia de grupos SO(p,q).
Ahora, en “A general Cayley correspondence and higher rank Teichmüller spaces”, Bradlow, Collier, García-Prada, Gothen y Oliveira dan una clasificación general y una construcción unificada de los espacios de Teichmüller de rango superior, haciendo uso de la teoría de fibrados de Higgs. Además de recuperar los casos mencionados, identifican nuevos grupos para los que existen espacios de Teichmüller de rango superior. En concreto, se trata de las formas reales cuaterniónicas de los grupos excepcionales E6, E7, E8 y F4. Una herramienta importante para su construcción es la introducción y clasificación de una clase especial de ternas sl2 de un álgebra de Lie compleja simple, que denominan mágicas. Cada situación aparece por medio de una correspondencia de tipo Cayley para las diferentes elecciones de ternas sl2. La clasificación de las ternas sl2 mágicas coincide con la clasificación de las estructuras positivas de Guichard y Wienhard, que desempeña un papel central en la caracterización de los espacios de Teichmüller de rango superior.
Referencia
Bradlow, S., Collier, B., García-Prada, O., Gothen, P. B., & Oliveira, A. (2024). A general Cayley correspondence and higher rank Teichmüller spaces. Annals of Mathematics, 200(3), 803–892. https://doi.org/10.4007/annals.2024.200.3.1