“Carleson measure estimates, corona decompositions, and perturbation of elliptic operators without connectivity” de Mingming Cao (ICMAT-CSIC), Pablo Hidalgo-Palencia (ICMAT-CSIC) y José María Martell (ICMAT-CSIC), se publica en Mathematische Annalen.
Imagen: Íñigo de Amescua/ICMAT
Si se calienta el borde de una placa metálica delgada con forma irregular, ¿cómo se distribuye la temperatura en el interior de la placa a lo largo del tiempo? La comunidad matemática lleva estudiando esta cuestión, el problema de Dirichlet, uno de los problemas clásicos en ecuaciones diferenciales parciales, desde hace casi 200 años. Se trata de encontrar una función que sea armónica – en el caso anterior, la que describe el calor– dentro de un dominio dado – la placa– y que tome ciertos valores específicos en la frontera del dominio –el borde–.
En 1977, Björn Dahlberg demostró que el problema de Dirichlet puede resolverse en L² en cualquier dominio cuyo borde es lo suficientemente regular –lo que se formaliza matemáticamente con una condición de Lipschitz–. Desde entonces ha habido una intensa investigación dedicada a encontrar condiciones apropiadas bajo las cuales se pueda resolver el problema de Dirichlet con datos de frontera en espacios de Lebesgue, que permiten trabajar con funciones más generales.
Después de muchos resultados profundos, aunque parciales, en 2020 Jonas Azzam, Steve Hofmann, José María Martell, Mihalis Mourgoglou y Xavier Tolsa dieron una respuesta completa para el problema de Dirichlet con datos de contorno en L^p para p finito. Caracterizaron los dominios en los que este problema es resoluble mediante dos propiedades que han de cumplir. La primera que está relacionada con la «regularidad» de la frontera, en concreto, la rectificabilidad uniforme de la frontera. La segunda está relacionada con la conectividad del dominio, más concretamente con la existencia de caminos de accesibilidad no tangenciales que conecten el interior del dominio cada porción de la frontera.
Su caracterización sólo se aplica a la ecuación de Laplace, y se sabe (ya que se encontraron contraejemplos en los años 1980) que la misma caracterización no puede mantenerse para cualquier operador. No obstante, un profundo resultado de Robert Fefferman, Carlos Kenig y Jill Pipher de 1991 daba esperanzas de que dicha caracterización pudiera ser cierta para una clase bastante amplia de operadores.
Ahora, Mingming Cao (ICMAT-CSIC), Pablo Hidalgo-Palencia (ICMAT-CSIC) y José María Martell (ICMAT-CSIC) dan los primeros pasos para extender la caracterización de Azzam, Hofmann, Martell, Mourgoglou y Tolsa a la clase de operadores descrita por Fefferman, Kenig y Pipher. Para ello, establecen una teoría abstracta de perturbaciones que les permite modificar el operador, manteniendo algunas propiedades muy ligadas a la resolución del problema de Dirichlet con datos en L^p para p finito. Como consecuencia, demuestran, para una subclase de los llamados operadores de Kenig-Pipher, que la resolubilidad de los problemas de Dirichlet sólo es posible en conjuntos uniformemente rectificables.
La principal novedad del trabajo es que su teoría de la perturbación puede aplicarse sin necesidad de añadir hipótesis de conectividad fuerte: de hecho, trabajar sin conectividad fuerte es la clave en Azzam, Hofmann, Martell, Mourgoglou y Tolsa, por lo que sus pasos hacia el trabajo sin conectividad pueden allanar el camino hacia la plena extensión de ese trabajo más allá de la ecuación de Laplace.
Para eliminar adecuadamente todos los supuestos de conectividad pero, al mismo tiempo, trabajar con operadores que se comportan mucho peor que el laplaciano, necesitan definir nuevas propiedades que encapsulen la idea de que puede haber escalas en las que las cosas no funcionen adecuadamente. Por ejemplo, pueden esperar que la función de Green se comporte linealmente alrededor de algunas partes de la frontera, pero no en todas, como sí se espera en entornos con conectividad. Utilizando estructuras diádicas apropiadas, medidas de Carleson y descomposiciones de tipo corona, son capaces de ignorar las regiones donde el comportamiento no es el esperado, y aun así obtener las propiedades globales deseadas. Su trabajo se publica en Mathematische Annalen.
Referencia
Cao M, Hidalgo-Palencia P, Martell JM. Carleson measure estimates, corona decompositions, and perturbation of elliptic operators without connectivity. Math Ann. 2024;390:95-156. doi:10.1007/s00208-023-02746-6.