Andrei Jaikin-Zapirain (ICMAT-UAM) firma “Les Q-groupes libres sont résiduellement nilpotents sans torsion”, publicado Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure

Un resultado clásico, dentro de la teoría grupos, de Wilhelm Magnus prueba que un cierto mapa, llamado el mapa de Magnus, es inyectivo. Este resultado ha desempeñado un papel fundamental en la teoría combinatoria de grupos. Para construir este mapa, se considera el grupo libre sobre dos generadores x e y, denominado F(x, y), y el anillo de las series de potencias formales no conmutativas en dos variables a y b, identificado como A(a, b) = Q << a, b >>. Entonces, el resultado afirma que el mapa que envía x a 1 + a e y, a 1 + b, el mapa de Magnus, define un mapa inyectivo de F(x, y) en el grupo multiplicativo A(a, b)^*.

En su tesis doctoral de 1958, Gilbert Baumslag inició el estudio de los denominados Q-grupos, que son grupos en los que cada elemento tiene una n-ésima raíz única para todos los números naturales n. Baumslag introdujo la noción de grupo Q-libre, denotado por F^Q(x, y), y demostró que la representación de Magnus se extiende de forma natural a un homomorfismo:

F^Q(x, y) → A(a, b)^*.

Una cuestión central planteada por Baumslag era si este homomorfismo extendido sigue siendo inyectivo. Ahora, Andrei Jaikin-Zapirain (ICMAT-UAM) proporciona una respuesta positiva a la pregunta de Baumslag, demostrando la inyectividad de este homomorfismo. De hecho, en su resultado, publicado en Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieu, va más allá, demostrando en el contexto más general de los A-grupos libres para dominios binomiales A.

Referencia: Jaikin-Zapirain A. Les Q-groupes libres sont résiduellement nilpotents sans torsion. Ann Sci Éc Norm Supér. 2024;57(4):1101-1133. doi:10.24033/asens.2587