Oscar García-Prada (ICMAT-CSIC) es coautor del artículo “Arakelov–Milnor inequalities and maximal variations of Hodge structure”, publicado en Compositio Mathematica en 2023

Desde su introducción hace más de 35 años, los espacios de moduli de fibrados de Higgs sobre superficies de Riemann compactas, introducidos por Nigel Hitchin (Universidad de Oxford, Reino Unido), han sido de enorme interés en geometría, topología y física teórica. Estos espacios de moduli poseen una geometría extremadamente rica debido a que definen sistemas completamente integrables y se identifican con variedades de caracteres de representaciones de grupos de superficies. Estos espacios también desempeñan un papel fundamental en la simetría de espejo y en la dualidad de Langlands.

Dentro de los espacios de moduli de fibrados de Higgs existe una subvariedad especial, determinada por los puntos fijos de la acción de C*, obtenida al reescalar el campo de Higgs. Estos puntos fijos se denominan fibrados de Hodge y corresponden a holonomías de variaciones complejas de estructura de Hodge. Tienen gran importancia, debido a que forman parte de un objeto conocido como el cono nilpotente global y, además, coinciden con puntos críticos de una función de energía natural en el espacio de moduli. Asimismo, la subvariedad de fibrados de Hodge determina básicamente la topología del espacio de moduli de fibrados de Higgs, mediante diversos métodos de localización.

En el artículo “Arakelov–Milnor inequalities and maximal variations of Hodge structure”, publicado en 2023, Oscar García-Prada (ICMAT-CSIC), junto con Olivier Biquard (Sorbonne Université and Université Paris Cité), Brian Collier (University of California Riverside) y Domingo Toledo (University of Utah) establecieron algunas propiedades básicas de los fibrados de Hodge y sus espacios de moduli. En este artículo introducen un invariante topológico para los fibrados de Hodge que generaliza el conocido invariante de Toledo de los fibrados de Higgs para grupos hermiticos. Asimismo, demuestran una cota para este invariante que generaliza la desigualdad de Milnor-Wood del caso hermítico, y es análoga a las desigualdades de Arakelov de las variaciones de la estructura de Hodge clásicas. También establecen resultados de rigidez en el caso en el que el invariante de Toledo es maximal, generalizando resultados de rigidez conocidos para fibrados de Higgs maximales y sus representaciones asociadas en el caso hermítico.

La teoría desarrollada en este trabajo abre la puerta a un estudio sistemático de la topología de los espacios de moduli de  fibrados de Hodge y, por tanto, de la topología de los espacios de moduli de fibrados de Higgs para grupos reductivos arbitrarios.

Referencia

Biquard O, Collier B, García-Prada O, Toledo D. Arakelov–Milnor inequalities and maximal variations of Hodge structure. Compositio Mathematica. 2023;159(5):1005-1041. doi:10.1112/S0010437X23007157