Mario García-Fernández (ICMAT), Roberto Rubio (Universidad Autónoma de Barcelona) y Carl Tipler (Université de Bretagne Occidentale, Francia) firman «Gauge theory for string algebroids», publicado en Journal of Differential Geometry
La interacción de las teorías matemáticas gauge con la geometría simpléctica y, en particular, la idea de reducción hamiltoniana, ha tenido un impacto importante en la comprensión de la teoría de moduli, dentro de la geometría algebraica, desde principios de la década de 1980, con los trabajos del Medalla Fields, Michael Atiyah y Raoul Bott. El principal resultado que gira en torno a esta idea es el llamado teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau, inicialmente conjeturado por Nigel Hitchin y Toshiyuki Kobayashi. Este teorema establece una correspondencia entre el espacio de moduli de soluciones a las ecuaciones de Hermite-Yang-Mills de la teoría gauge y el espacio de moduli de fibrados holomorfos en una variedad compacta de Kähler que satisfacen una condición numérica, denominada «estabilidad». Una consecuencia clave de este importante resultado es que ciertos espacios de móduli en geometría algebraica, construidos mediante la teoría geométrica invariante de Mumford, están dotados de métricas naturales de Kähler.
Mario García-Fernández (ICMAT), Roberto Rubio (Universidad Autónoma de Barcelona) y Carl Tipler (Université de Bretagne Occidentale, Francia) exploran, en un artículo publicado en el Journal of Differential Geometry, un nuevo escenario en teoría gauge, donde se aplican los principios de reducción hamiltoniana. Para ello, los investigadores consideran una clase de objetos de tipo fibrado holomorfo que han aparecido muy recientemente en la llamada teoría gauge superior. En este escenario, el grupo de simetrías del fibrado se sustituye por una categoría sencilla, denominada 2-grupo de Lie complejo.
A continuación, los autores aplican su construcción a la teoría de moduli para el sistema de Hull-Strominger. Este sistema de ecuaciones en derivadas parciales tiene sus orígenes en la teoría de cuerdas y fue estudiado por primera vez en matemáticas por el también medallista Fields, Shing-Tung Yau (Universidad de Tsinghua), y por Jun Li (Stanford), teniendo un importante impacto en la geometría compleja desde entonces. El artículo de García-Fernández, Rubio y Tipler estudia la geometría del espacio de móduli de soluciones para estas ecuaciones. Bajo ciertas hipótesis naturales, los autores demuestran que el espacio de móduli lleva una métrica pseudo-Kähler con un potencial de Kähler explícito, una fórmula cohomológica para la métrica, así como una versión infinitesimal del teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau.
Referencia: Mario Garcia-Fernandez, Roberto Rubio, Carl Tipler. «Gauge theory for string algebroids.» Journal of Differential Geometry, 128(1) 77-152 September 2024. https://doi.org/10.4310/jdg/1721075260