Imagen: Álvaro Minguito/ICMAT
Un sistema de ecuaciones nacido en la teoría de cuerdas se ha convertido en uno de los problemas centrales de la geometría compleja moderna. Un reciente trabajo de Mario García-Fernández y Raúl González Molina aporta nuevas herramientas conceptuales para comprender sus soluciones, sus obstrucciones y su papel en la búsqueda de geometrías canónicas más allá del mundo Kähler.
El sistema Hull-Strominger es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, cuyo origen está en la teoría de cuerdas. Su función es caracterizar ciertas geometrías especiales que aparecen al describir los modelos más realistas del universo dentro de esta teoría.
En la teoría de cuerdas, el espacio-tiempo se formula originalmente en diez dimensiones. Para recuperar la física observable en cuatro dimensiones, se postula que las seis dimensiones adicionales están compactificadas, es decir, enrolladas en formas geométricas muy pequeñas e imposibles de detectar directamente. El sistema de Hull–Strominger proporciona las ecuaciones que deben satisfacer estas geometrías internas para que el modelo físico resultante sea consistente. En este sentido, no solo conecta la teoría de cuerdas con la física efectiva en cuatro dimensiones, sino que además describe una clase muy amplia de espacios geométricos con propiedades especialmente favorables desde el punto de vista predictivo.
Estas ecuaciones se estudiaron por primera vez desde un punto de vista totalmente matemático en de 2005 del medallista Fields Shing-Tung Yau y Jun Li, de la Universidad de Stanford. En dicho trabajo, los autores propusieron su estudio como una generalización del problema de Calabi, resuelto por Yau en 1977. A diferencia de la situación clásica del problema de Calabi, las restricciones geométricas impuestas por el sistema de Hull–Strominger trascienden el marco de la geometría algebraica e incluso el de la geometría de Kähler.
Por analogía con el problema de Calabi, Yau propuso una conjetura, todavía abierta, basada en las grandes clases de ejemplos conocidos hasta la fecha. Las principales dificultades para abordarla radican en la imposibilidad de aplicar técnicas de la geometría de Kähler y la falta de comprensión de la geometría de las ecuaciones.
En los últimos años, el problema ha atraído el interés de matemáticos de diversas áreas, como la geometría hermítica no Kähler, el análisis geométrico, la topología algebraica y geometría generalizada de Hitchin. En la actualidad, la búsqueda de soluciones a este sistema se ha convertido en un principio rector en el estudio de geometrías canónicas en estos espacios complejos más flexibles. Recientemente, Mario García-Fernández (ICMAT-CSIC) y Raúl González Molina (SISSA y UPM) han realizado un avance significativo en esta cuestión. Sus resultados se publican en el Journal für die reine und angewandte Mathematik.
García-Fernández y González se basan en otros trabajos anteriores en geometría generalizada para reformular el sistema de Hull-Strominger en términos de ecuaciones naturales para ciertos datos geométricos en algebroides de Courant, en la categoría holomorfa, que son los componentes básicos de la geometría generalizada. De esta manera, muestran que el sistema puede reinterpretarse como la ecuación de Hermite-Einstein para una métrica generalizada, proporcionando una demostración matemática rigurosa de una afirmación que ya habían hecho los físicos, mediante métodos perturbativos.
Como aplicación, los autores construyen un invariante que detecta la imposibilidad de resolver el sistema de Hull–Strominger. Dicho invariante toma la forma de un carácter en teoría de álgebras de Lie, obtenido a partir de las simetrías del algebroide de Courant y geometría simpléctica, , de manera análoga a como Akito Futaki introdujo en 1983 un invariante que mide la obstrucción para que una variedad compleja admita una métrica de Kähler–Einstein.
Estos nuevos resultados proporcionan una herramienta de gran valor para abordar la conjetura de Yau en el contexto del sistema de Hull–Strominger. En un marco más amplio, esta conjetura se relaciona con otro problema abierto en geometría compleja: la geometrización de las cirugías (transiciones y flops) que aparecen al pasar de variedades algebraicas a variedades Calabi–Yau no Kähler en dimensión compleja tres, fenómeno conocido como la fantasía de Reid. La aparición de un invariante de tipo Futaki arroja nueva luz sobre este panorama y sugiere que podría ser necesario matizar las expectativas originales.
Por otro lado, la interpretación del sistema de Hull–Strominger como un instantón de orden superior constituye un paso importante hacia una conjetura de correspondencia de tipo Hitchin–Kobayashi. En esta formulación, las soluciones del sistema, dentro de una versión ampliada de la teoría de gauge, deberían ser equivalentes a ciertos objetos geométricos —aún por identificar— que satisfacen una noción adecuada de estabilidad en el sentido de la teoría de invariantes geométricos en geometría algebraica.
Referencia
Garcia-Fernandez, Mario and Gonzalez Molina, Raul. «Futaki invariants and Yau’s Conjecture on the Hull–Strominger system» Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), vol. 2025, no. 822, 2025, pp. 221-257. https://doi.org/10.1515/crelle-2025-0008