Daniel Macías Castillo (ICMAT-CSIC) y David Burns (King’s College London) firman el artículo “On Refined Conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer Type for Hasse–Weil–Artin L-Series” publicado en Memoirs of the American Mathematical Society.
Uno de los problemas más importantes de las matemáticas, seleccionado en la famosa lista de los siete Problemas del Milenio (cuya resolución está recompensada con un millón de dólares), es la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (BSD). Esta conjetura se apoya sobre resultados clásicos para hacer predicciones sorprendentes. Así sucede con el Teorema de Mordell-Weil, que garantiza que el grupo abeliano formado por los puntos racionales de cualquier variedad abeliana definida sobre un cuerpo de números (llamamos A a la variedad) es finitamente generado. Partiendo de este teorema, la conjetura BSD predice fórmulas explícitas que relacionan el orden de anulación en z=1 de la serie-L de Hasse-Weil A y el coeficiente principal de su expansión de Taylor en este punto, con diversos invariantes algebraicos importantes de A, incluido el rango de este grupo abeliano.
Esta predicción se considera uno de los problemas más relevantes de la geometría aritmética. Sin embargo, hay varios contextos en los que no abarca todo el alcance de la interacción entre los invariantes analíticos y algebraicos de A. Por ello, en las últimas décadas, numerosos autores han formulado y estudiado «conjeturas refinadas de tipo BSD».
Daniel Macías Castillo (ICMAT-CSIC) y David Burns (King’s College London) han formulado un nuevo refinamiento, aparentemente definitivo, de la conjetura BSD para las series-L de Hasse-Weil-Artin asociadas a A, y a caracteres complejos del grupo absoluto de Galois de su cuerpo de definición. Además, establecen una serie de consecuencias concretas de esta conjetura que se pueden someter a investigación directa y explícita. En particular, muestran que su conjetura refina y amplía toda la teoría existente de conjeturas refinadas de tipo BSD y también implica el caso relevante de la Conjetura Equivariante de los Números de Tamagawa (`ETNC’).
Macías y Burns proporcionan evidencias fuertes de la validez de su conjetura en casos especiales importantes. Por ejemplo, en el contexto de curvas elípticas racionales, utilizan la teoría de símbolos modulares y un teorema de Kato, para obtener una demostración de su conjetura para familias generales de tales curvas. Este resultado también extiende las comprobaciones anteriores de la ETNC en este contexto. En ciertos contextos más complicados, también son capaces de proporcionar verificaciones numéricas de su conjetura.
Los resultados aparecen en la revista Memoirs of the American Mathematical Society.
Referencia
Burns D, Macias Castillo D. On Refined Conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer Type for Hasse–Weil–Artin L-Series. Memoirs of the American Mathematical Society. 2024;297(1482). doi:10.1090/memo/1482.