Jennifer Duncan (investigadora posdoctoral en el ICMAT hasta el 30 de noviembre de 2024, actualmente en la Universidad Autónoma de Madrid), David Beltrán (Universidad de Valencia) y Jonathan Hickman (Universidad de Edimburgo) firman Off-diagonal estimates for the helical maximal function, publicado en Proceedings of the London Mathematical Society.
Imagen: Íñigo de Amescua/ICMAT
Dentro de la rama del análisis armónico, desde la década de 1970, hay un persistente interés por las variantes de la llamada función máxima de Hardy-Littlewood, en gran parte debido a su conexión con las ecuaciones en derivadas parciales dispersivas. Una de estas variantes –de hecho, la primera y la que despertó el interés por el tema–, fue propuesta por Elias M. Stein en 1970, y se conoce como función máxima esférica de Stein.
Curiosamente, esta función resulta ser mucho más difícil de estudiar en dos dimensiones (donde se denomina función maximal circular) que en dimensiones superiores. En dos dimensiones aparecen muchas características geométricas inesperadas, que desempeñan un papel clave en su comportamiento. Entre ellas, están sus estimaciones de Lebesgue, que fueron finalmente demostradas por Pierre Bougain en los años 80 del siglo pasado.
Mientras que la función maximal circular no traslada sus sutilezas geométricas a dimensiones superiores, hay otra función que sí lo hace: la función máxima helicoidal. Por ello, en las últimas décadas se ha llegado a considerar como el análogo en dimensiones superiores del problema de la función máxima circular.
En los últimos años se han obtenido diversos resultados sobre esta función en tres o más dimensiones. Entre ellas, dos grupos de investigadores, Beltrán, Guo, Hickman y Seeger por un lado, y Ko, Lee y Oh, por otro, calcularon las estimaciones diagonales óptimas de Lebesgue para la función máxima helicoidal en tres dimensiones. Lo hicieron de forma independiente y mediante dos métodos centrados en distintas características del problema.
Ambas características se incorporan en una nueva metodología, desarrollada por Jennifer Duncan (investigadora predoctoral en el ICMAT hasta el 30 de noviembre de 2024, actualmente en la Universidad Autónoma de Madrid), David Beltrán (Universidad de Valencia) y Jonathan Hickman (Universidad de Edimburgo). Gracias a ella, fueron capaces de establecer el rango completo conjeturado fuera de la diagonal excepto para ciertos puntos finales para la función máxima helicoidal en tres dimensiones. El resultado se publica en la revista Proceedings of the London Mathematical Society.
Referencia: Beltran D, Duncan J, Hickman J. Off-diagonal estimates for the helical maximal function. Proc Lond Math Soc. 2024;128(4):e12594. doi:10.1112/plms.12594.